Kezdőlap


Feladat:	144. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Meitner Elemér , Porde Gyula , Szentpétery Imre , Visnya Aladár
Füzet:	1895/szeptember, 6 - 7. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Terület, felszín, Beírt háromszög, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1895/június: 144. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha az első és harmadik háromszög megfelelő csúcsait egymással összekötjük, az összekötő egyenesek egy pontban, a két háromszög hasonlósági pontjában találkoznak. E pont távolságai az első háromszög $a, b,$ és $c$ oldalaitól legyenek rendre $h, i, j$ és a harmadik háromszög $a', b',$ és $c'$ oldalaitól $h', i',$ és $j'$ .
Ekkor az első, második és harmadik háromszög területei $S, S''$ és $S'$ rendre a következők:

\begin{matrix} S = a h + b i + c j, \end{matrix}

(1)

\begin{matrix} S'' = a' h + b' i + c' j, \end{matrix}

(2)

\begin{matrix} S' = a' h' + b' i + c' j' . \end{matrix}

(3)

A B C

és

A' B C'

háromszögek hasonlóságából következik továbbá, hogy

\begin{matrix} \frac{a'}{a} = \frac{b'}{b} = \frac{c'}{c} = k, \end{matrix}

\begin{matrix} a' = k a, b' = k b, c' = k c, \end{matrix}

(4)

mely egyenletek alapján

\begin{matrix} S'' = k (a h + b i + c j) = k S . \end{matrix}

(5)

De ugyancsak az előbbi háromszögek hasonlóságából folyik, hogy

\begin{matrix} \frac{S'}{S} = k^{2} . \end{matrix}

5)

- és

6)

-ból kiküszöbölve

k

értékét, lesz:

\begin{matrix} \frac{S''^{2}}{S^{2}} = \frac{S'}{S} \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} S''^{2} = S S' \end{matrix}

Q.e.d.

(Visnya Aladár, főr. VIII. o. t. Pécs).

A feladatot még megoldották: Meitner Elemér, Budapest; Porde Gyula Szamos-Ujvár; Szentpétery Imre, Losoncz.