Kezdőlap


Feladat:	142. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Friedmann Bernát , Goldberger Leó , Imre János , Meitner Elemér
Füzet:	1895/szeptember, 2 - 3. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú diofantikus egyenletek, Tizes alapú számrendszer, Számjegyekkel kapcsolatos feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1895/június: 142. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jeleljük $x, y, z$ -vel a keresett szám három számjegyét. Ekkor a feladat értelmében:

\begin{matrix} x + y + z = (10 x + y) - (10 y + z) \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} 9 x = 10 y + 2 z \end{matrix}

miből

\begin{matrix} x = y + \frac{y + 2 z}{9} \end{matrix}

Hogy az

x

egész szám legyen, kell, hogy

y + 2 z

9

-nek többszöröse legyen, még pedig minthogy

0 ≦ y ≦ 9

és

0 ≦ z ≦ 9

, azért

y + 2 z

legfeljebb

27

-tel lehet egyenlő. Ez utóbbi érték külömben ki van zárva, mert külömben

x

nagyobb lenne

9

-nél.
Minthogy

9

és

18

az egyedüli többszörösei

9

-nek, melyek

0

és

27

köz foglaltatnak, két feltevésünk lehet:

1^{0} y + 2 z = 9 és x = y + 1

.
Ezen két egyenlőségből következik, hogy

y

csak

8

-nál kisebb páratlan szám lehet, miből a következő négy megoldás adódik:

\begin{matrix} y = 1, 3, 5, 7; \end{matrix}

\begin{matrix} z = 4, 3, 2, 1; \end{matrix}

\begin{matrix} x = 2, 4, 6, 8. \end{matrix}

2^{0} y + 27 = 18 és x = y + 2.

Eme két egyenlőség azt követeli, hogy

y

8

-nál kisebb páros szám legyen, miből a következő négy új megoldás folyik:

\begin{matrix} y = 0, 2, 4, 6; \end{matrix}

\begin{matrix} z = 9, 8, 7, 6; \end{matrix}

\begin{matrix} x = 2, 4, 6, 8. \end{matrix}

Tehát a következő

8

szám felel meg a feladatnak:

\begin{matrix} 209, 428, 647, 866; \end{matrix}

\begin{matrix} 214, 433, 652, 871. \end{matrix}

(Goldberger Leó, főreálisk. VII. o. t. Pécs).

A feladatot még megoldották: Friedmann Berháth, S. A. Ujhely; ifj. Imre János, Nyíregyháza; Meitner Elemér, Budapest; Szentpétery Imre, Losoncz; Visnya Aladár és Weisz Lipót, Pécs.