Kezdőlap


Feladat:	141. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Friedmann Bernát , Grünhut Béla , Jankovich György , Meitner Elemér , Weisz Lipót
Füzet:	1895/szeptember, 5 - 6. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül körökben, Körérintési szerkesztések, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1895/június: 141. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $O A = x$ és $O B = y$ . Akkor feltevés szerint

\begin{matrix} x + y = m \end{matrix}

(1)

De másrészt ha tekintetbe vesszük a

C D C'

háromszöget, hol

D

C

-ből az

O y

-ra és

C

-ből az

O x

-re bocsátott merőlegesek metszéspontja, akkor látjuk, hogy:

\begin{matrix} {(x - R')}^{2} + {(y - R)}^{2} = {(R + R')}^{2} \end{matrix}

(2)

1)

-ből

\begin{matrix} y = m - x \end{matrix}

s ezt a

2)

-be téve, lesz:

\begin{matrix} {(x - R')}^{2} + {(m - x - R)}^{2} = {(R + R')}^{2}, \end{matrix}

vagy rendezve

\begin{matrix} 2 x^{2} - 2 (m + R' - R) x + m^{2} - 2 m R - 2 R R' = 0 \end{matrix}

miből

\begin{matrix} x = \frac{1}{2} {m + R' - R \pm \sqrt[]{{(m + R + R')}^{2} - 2 m^{2}}} \end{matrix}

y = m - x

egyenletből pedig:

\begin{matrix} y = \frac{1}{2} {m + R - R' \mp \sqrt[]{{(m + R + R')}^{2} - 2 m^{2}}} \end{matrix}

A két kör szerkesztése a következők alapján történik: A

C D C'

derékszögű háromszögből ismeretes a

C C'

átfogó,

C C' = R + R'

és a

C D + D C' = m - R - R'

összege a két befogónak. Ha tehát a

C D

oldalhoz hozzáadom a

D C'

oldalt, oly

C_{1}

pontot nyerek, mely a

C

és

C'

pontokkal együtt a

C C_{1} C'

háromszöget határozza meg. Ebből ismeretes két oldal,

C C'

és

C C_{1}

és a

C C_{1} C' = 45^{\circ}

-nyi szög. A szerkesztés

0, 1, 2

megoldást szolgáltat, a szerint, amint

C C' ⋚ C I

, mely utóbbi egyenes a

C

-ből a

C C_{1} L 45^{\circ}

-nyi szög

C_{1} L

szárára bocsátott merőleges. A

C'

és

C'_{1}

pontokból a

C_{1} C

-re bocsátott merőlegesek szolgáltatják a

D

és

D_{1}

pontokat. E pontok koordinátái az

x O y

rendszerben

ξ = R', η = R

(Friedmann Berhát, főgimn. VII. o. t. S. A. Ujhely)

A feladatot még megoldották: Grünhut Béla, Pécs; Jankovich György, Fülek; Meitner Elemér, Budapest; Weisz Lipót, Pécs.