Feladat:	136. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Friedmann Bernát ,  Meitner Elemér
Füzet:	1895/június, 153 - 154. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Háromszögek szerkesztése, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1895/április: 136. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Első eset. Tegyük fel, hogy $X$ a $BA$ és $Y$ az $AC$ oldalon a háromszög csúcspontjai közé esik. Vigyük rá az $AC$ oldalra az $AD=AB$ hosszúságot és rajzoljuk meg $BD$ egyenest. Ennek tetszés szerinti $E$ pontjából $\left(BE<BD\right)$ húzzunk párhuzamosat $DA$ egyenessel, mely $BA$-t $F$ pontban messe. Az $E$-ből mint középpontból rajzoljunk $EF$ sugárral kört, mely $BC$-t $G$ pontban metszi. $G$-t kössük össze $E$-vel. Végre húzzunk $C$-ből párhuzamosat $GE$-vel, mely $AD$-t $H$ pontban metszi. A $H$-ból $DA$-val párhuzamosan vont egyenes $BA$ -t $X$ pontban, az $X$ pontból $HC$-vel párhuzamosan vont egyenes $AD$-t $Y$-ban metszi. A $BEG$ és $BHC$ hasonló háromszögekből következik ugyanis, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle BE:EH=BG:GC}\end{array}$ másrészt pedig a $BFE$ és $BXH$ háromszögekből: $\begin{array}{c}{\displaystyle BE:EH=BF:FX}\end{array}$ és e két aránylatból a harmadik: $\begin{array}{c}{\displaystyle BG:GC=BF:FC\mathrm{.}}\end{array}$ E harmadik aránylatnak kifolyása az $FG$ és $XC$ párhuzamossága és ezzel együtt az $FEG$ és $XHC$ háromszögek hasonlósága. Tehát $\begin{array}{c}{\displaystyle XH:HC=FE:EG=1}\end{array}$ vagyis $\begin{array}{c}{\displaystyle XH=HC}\end{array}$ Másrészt azonban $\begin{array}{c}{\displaystyle AX=XH}\end{array}$ s így $\begin{array}{c}{\displaystyle AX=HC}\end{array}$ Minthogy azonban $\begin{array}{c}{\displaystyle HC=XY}\end{array}$ és $\begin{array}{c}{\displaystyle XH=YC}\end{array}$ azért $\begin{array}{c}{\displaystyle AX=XY=YC}\end{array}$   Q.e.d. (Meitner Elemér, főr. VIII. o. t. Budapest.)   Második eset. Tegyük fel, hogy az $X$ pont a $BC$ egyenesre és $Y$ pont a $CA$ egyenesre esik. Választunk az $AC$ egyenesen egy $Y\text{'}$ pontot s $Y\text{'}C$ sugárral kör írunk le, mely a $BC$-t $X\text{'}$ pontban metszi. $X\text{'}$-t $Y$-tel összekötvén, $X\text{'}$-től $CB$-re $B$ felé lemérem az $X\text{'}B\text{'}=Y\text{'}X\text{'}$ hosszúságot. A $B\text{'}$ pontot végre összekötöm $Y\text{'}$-tel. Ha most $B$-ből $B\text{'}Y\text{'}$-tel párhuzamosat húzok, ez $AC$-t $Y$ pontban metszi. Az $Y$-ból $Y\text{'}X\text{'}$-tel párhuzamosan húzott egyenes $BC$-t $X$ pontban metszi. Ugyanis $BX\text{'}Y$ és $BXY$ továbbá $CX\text{'}Y\text{'}$ és $CXY$ háromszögek hasonlóságából következik, hogy: $\begin{array}{c}{\displaystyle BX:XY=B\text{'}X\text{'}:X\text{'}Y\text{'}=1}\end{array}$ és $\begin{array}{c}{\displaystyle XY:YC=X\text{'}Y\text{'}:Y\text{'}C\text{'}=1}\end{array}$ miből $\begin{array}{c}{\displaystyle BX=XY=YC\mathrm{.}}\end{array}$   Q.e.d. (Friedmann Bernát, főgymn. VI. o. t. S.-A.-Ujhely.)