Feladat: 131. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Friedmann Bernát ,  Grünhut Béla ,  Jorga Gergely ,  Meitner Elemér ,  Reif Jenő ,  Visnya Aladár ,  Weisz Lipót 
Füzet: 1895/június, 151. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Körülírt kör, Húrnégyszögek, Síkgeometriai szerkesztések, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1895/április: 131. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás: Az adott ABC háromszög köré kört rajzolunk és ehhez az A,B és C pontokban meghúzzuk az érintőket. Legyenek ezek A'CB',B'AC' és C'BA'. Ezen három egyenessel az adott P pontból három párhuzamost húzunk, melynek mindegyike az ABC háromszög három oldalát három-három pontban metszi. Ezen pontok közül két-két olyan pont, mely egyidejűleg a háromszög szögpontjai közé vagy a szögpontokon kívül esik, a háromszög két-két csúcspontjával körbeírható négyszöget alkot.
Bebizonyítás. Vizsgáljuk pl. a B'AC' egyenest; ez a CA és AB egyenesekkel a B, illetőleg C szögeket képezi. A vele párhuzamosan húzott egyenes messe az AB-t C1, a BC-t A1 és a CA-t B1 pontokban. Ha ezek közül pl. B1 és C1 a C és A, illetőleg A és B szögpontok közé esik, akkor a C'AB' és A1B1C1 egyenesek párhuzamossága folytán

BC1B1∢+B1CB∢=π
és
C1B1C∢+B1CB∢=π
miből azután a húrnégyszögek ismeretes tulajdonságánál fogva következik, hogy BC1B1C körbe írható négyszög.
 
A feladatot megoldották: Friedmann Bernát, fg. VI. S.-A.-Ujhely; Grünhut Béla fr. VI. Pécs; Jorga Gergely, Gilád; Meitner Elemér, fr. VIII. Budapest; Reif Jenő, fr. VI. Pécs; Visnya Aladár, fr. VII. Pécs; Weisz Lipót, fr. VI. Pécs.