Kezdőlap


Feladat:	129. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Friedmann Bernát , Grünhut Béla , Jankovich György , Jorga Gergely , Meitner Elemér , Sramkó Loránd , Visnya Aladár , Weisz Lipót
Füzet:	1895/szeptember, 8 - 10. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Körülírt kör, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Logaritmusos függvények, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1895/április: 129. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ismeretes trigonometriai képletek alapján

\begin{matrix} a = 2 R \end{matrix}

\begin{matrix} b = 2 R \end{matrix}

\begin{matrix} c = 2 R \end{matrix}

mely képletekből

\begin{matrix} m^{2} = 4 R^{2} (sin^{2} A + sin^{2} B + sin^{2} C) \end{matrix}

és

\begin{matrix} 2 R = \frac{m}{\sqrt[]{sin^{2} A + sin^{2} B + sin^{2} C}} . \end{matrix}

Ez utóbbi képlet továbbá a következő alakra hozható:

\begin{matrix} 2 R = \frac{m}{sin A \sqrt[]{1 + \frac{sin^{2} B}{sin^{2} A} + \frac{sin^{2} C}{sin^{2} A}}}; \end{matrix}

ha most

\begin{matrix} \frac{sin B}{sin A} = tan φ \end{matrix}

(1)

akkor

\begin{matrix} 2 R = \frac{m cos φ}{sin A \sqrt[]{1 + \frac{sin^{2} C cos^{2} φ}{sin^{2} A}}} \end{matrix}

Legyen továbbá

\begin{matrix} \frac{sin A}{cos φ sin C} = tan φ \end{matrix}

(2)

akkor

\begin{matrix} 2 R = m \end{matrix}

vagy minthogy a

2)

-ből

\begin{matrix} \frac{cos φ}{sin A} = \frac{1}{sin C} \end{matrix}

azért

\begin{matrix} 2 R = m \end{matrix}

(3)

Ezek után a számításra szükséges képletek a következők:

\begin{matrix} log tan φ = log sin B - log sin A, \end{matrix}

\begin{matrix} log tan φ = log sin A - log cos φ - log sin C, \end{matrix}

\begin{matrix} log 2 R = log m - log sin C + log cos φ, \end{matrix}

\begin{matrix} log a = log 2 R + log sin A, \end{matrix}

\begin{matrix} log b = log 2 R + log sin B, \end{matrix}

\begin{matrix} log c = log 2 R + log sin C . \end{matrix}

Segédszámítások:

\begin{matrix} \begin{matrix} A + B = & 120^{\circ} 36' 10'' \\ C = & 59^{\circ} 23' 50'' \\ log sin A = & 9,958493 \\ log sin B = & 9,914714 \\ log sin C = & 9,934861 \end{matrix} \end{matrix}

Végleges számítások:

a

számítása:

\begin{matrix} \begin{matrix} 1,001387 \\ \underset{̲}{9,958493} \\ log a = & 0,959880 \\ \underset{̲}{76} & 9,1175 \\ 4 & 8 \\ a = & 9,11758 \end{matrix} \end{matrix}

φ

-nek számítása:

\begin{matrix} \begin{matrix} 9,914714 \\ \underset{̲}{9,958493} \\ log tan φ = & 9,956221 \\ \underset{̲}{15} & 42^{\circ} 7' 0'' \\ 6 & 1'' \\ φ = & 42^{\circ} 7' 1'' \end{matrix} \end{matrix}

b

számítása:

\begin{matrix} \begin{matrix} 1,001387 \\ 9,914714 \\ log b = & 0,916101 \\ b = & 8,24330 \end{matrix} \end{matrix}

log cos φ

-nek számítása:

\begin{matrix} \begin{matrix} 42^{\circ} 7' 10'' & 9,870257 \\ - 9'' & 17 \\ log cos φ = & 9,870274 \end{matrix} \end{matrix}

Segédszámítások:

φ

számítása:

\begin{matrix} \begin{matrix} 9,958493 \\ \underset{̲}{- 9,870274} \\ 0,088219 \\ 9,934861 \\ log tan φ = & 0,153358 \\ \underset{̲}{40} & 54^{\circ} 54' 40'' \\ 18 & 4'' \\ φ = & 54^{\circ} 54' 44'' \end{matrix} \end{matrix}

Végleges számítások:

c

számítása:

\begin{matrix} \begin{matrix} 1,001387 \\ \underset{̲}{9,934861} \\ log c = & 0,936248 \\ \underset{̲}{7} & 8,6347 \\ 1 & 0,2 \\ c = & 8,63472 \end{matrix} \end{matrix}

log cos φ

számítása:

\begin{matrix} \begin{matrix} 54^{\circ} 54' 50'' & 9,759522 \\ - 6'' & 18 \\ log cos φ = & 9,759540 \end{matrix} \end{matrix}

Eredmények:

\begin{matrix} \begin{matrix} a = & 9,11758 \\ b = & 8,24330 \\ c = & 8,63472 \end{matrix} \end{matrix}

\begin{matrix} \begin{matrix} 2 log m = & 2,353416 \\ log m = & 1,176708 \end{matrix} \end{matrix}

2 R

számítása:

\begin{matrix} \begin{matrix} 1,176708 \\ - & \underset{̲}{9,934861} \\ 1,241847 \\ + & 9,759540 \\ log 2 R = 1,001387 \end{matrix} \end{matrix}

A feladatot megoldották: Friedmann Bernát, S.-A.-Ujhely; Grünhut Béla, Pécs; Jankovich György, Losoncz; Jorga Gergely, Gilád; Meitner Elemér, Budapest; Sramkó Loránd, Rimaszombat; Visnya Aladár és Weisz Lipót, Pécs.