Feladat:	115. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Arany Dániel ,  Meitner Elemér
Füzet:	1895/október, 21 - 23. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Parabola egyenlete, Parabola, mint kúpszelet, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1895/március: 115. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Első megoldás.   Fentebbi feladat még így is fogalmazható: "Ha valamely $P$ ponton keresztül húzok egyenest, mely a parabolát $A$ és $B$ pontokban metszi és a $P$ pontnak távolságait az $A$ és $B$ pontokon keresztül menő parabola átmérőktől $a$ és $b$-től egymással megszorzom, e szorzat független a $P$ ponton keresztül húzott egyenes irányától."   Adjuk meg a parabolát gyújtópontja $\left(F\right)$ és vezérvonala $\left(d\right)$ által. A $P$ pontot pedig a vezérvonal és a parabolatengelytől mért távolságai $x_0$ és $y_0$ által. Az $A$ és $B$ pontokból a vezérvonalra húzott merőlegesek talppontjai legyenek $A\text{'}$ és $B\text{'}$. Az $F$ pontnak az $AB$ szimmetriatengelyre vonatkoztatott szimmetrikus pontja legyen $F\text{'}$. Végre az $FF\text{'}$ és a $\left(d\right)$ egyenesek metszéspontja legyen $N$. Minthogy $A$ és $B$ a parabola pontjai, e pontokból mint középpontokból az $AF$ és $BF$ sugarakkal leírt körök keresztül mennek $F\text{'}$-en és a $\left(d\right)$-t $A\text{'}$ és $B\text{'}$ pontokban érintik. Áll tehát, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle A\text{'}{N}^2=B\text{'}{N}^2=NF\times NF\text{'}}\end{array}$ A $P$-ből a $\left(d\right)$-re húzott merőleges talppontját $P\text{'}$-tel jelölöm; bebizonyítandó, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle P\text{'}A\text{'}\times P\text{'}B\text{'}=\text{állandó}\mathrm{.}}\end{array}$ Legyen a parabolatengely és a vezérvonal metszéspontja $0$. A fönntebbi egyenlőség ekkor még így is írható: $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(P\text{'}O+ON-A\text{'}N\right)\left(P\text{'}O+ON+B\text{'}N\right)=\text{állandó}}\end{array}$ vagy minthogy $\begin{array}{c}{\displaystyle A\text{'}N=B\text{'}N}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(P\text{'}O+ON\right)}^2-A\text{'}{N}^2=\text{állandó}}\end{array}$ Legyen $FO$ egyenlő $p$-vel, az $AB$ egyenesnek a vezérvonallal képezett szöge $\alpha$-val. Ekkor az utolsó egyenlőség még így is írható: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(y_0+p\text{tan}\alpha \right)}^2-NF\times NF\text{'}=\text{állandó}}\end{array}$ De $\begin{array}{c}{\displaystyle NF=\frac{p}{\text{cos}\alpha }}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle NF\text{'}=\frac{p}{\text{cos}\alpha }+2\left(x_0\text{cos}\alpha +y_0\text{sin}\alpha -p\text{cos}\alpha \right)}\end{array}$ tehát $\begin{array}{c}{\displaystyle NF\times NF\text{'}=\frac{p^2}{\text{cos}{}^2\alpha }+2p{x}_0+2p{y}_0\text{tan}\alpha -p^2}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle =2p{x}_0+2p{y}_0\text{tan}\alpha +p^2\text{tan}{}^2\alpha }\end{array}$ s ennélfogva kifejezésünk új alakja $\begin{array}{c}{\displaystyle y_0^2+2p{y}_0\text{tan}\alpha +p^2\text{tan}{}^2\alpha -2p{x}_0-2p{y}_0\text{tan}\alpha -p^2\text{tan}{}^2\alpha }\end{array}$ vagyis $\begin{array}{c}{\displaystyle y_0^2-2p{x}_0}\end{array}$ mely kifejezés tényleg független $\alpha$-tól. (Meitner Elemér, főreálisk. VIII. o. t. Budapest)   Második megoldás.   Legyen a parabola egyenlete a tengely és a csúcsérintőből álló rendszerre vonatkoztatva $\begin{array}{c}{\displaystyle y^2=2px\mathrm{.}}\end{array}$ A $P\left(x_0\mathrm{,}{y}_0\right)$ ponton keresztül menő egyenes egyenlete $\begin{array}{c}{\displaystyle y-kx=y_0-k{x}_0}\end{array}$ Ekkor az egyenes és a parabola metszéspontjainak $A$-nak és $B$-nek ordinátáit a következő másodfokú egyenlet gyökei szolgáltatják: $\begin{array}{c}{\displaystyle y-k\frac{y^2}{2p}=y_0-k{x}_0\mathrm{.}}\end{array}$ vagy $\begin{array}{c}{\displaystyle y^2-\frac{2p}{k}y+\frac{2p}{k}{y}_0-2p{x}_0=0.}\end{array}$ A keresett kifejezés, melynek állandósága bizonyítandó $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(y_0-y_1\right)\left(y_0-y_2\right)=y_0^2-\left(y_1+y_2\right)+y_1{y}_2\mathrm{.}}\end{array}$ De a föntebbi egyenletből $\begin{array}{c}{\displaystyle y_1+y_2=\frac{2p}{k}\mathrm{,}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle y_1{y}_2=\frac{2p}{k}{y}_0-2p{x}_0;}\end{array}$ ezeket a keresett kifejezés értékébe helyettesítve, az a következő alakot ölti: $\begin{array}{c}{\displaystyle y_0-\frac{2p}{k}{y}_0+\frac{2p}{k}{y}_0-2p{x}_0\mathrm{.}}\end{array}$ vagy $\begin{array}{c}{\displaystyle y_0^2-2p{x}_0\mathrm{,}}\end{array}$ mely alak $k$-tól tényleg független. Arany Dániel.