Kezdőlap


Feladat:	114. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bolemann Béla , Friedmann Bernát , Grossmann Gusztáv , Grünhut Béla , Jankovich György , Jorga Gergely , Meitner Elemér , Visnya Aladár , Weisz Lipót
Füzet:	1895/április, 123 - 124. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Derékszögű háromszögek geometriája, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Trigonometriai azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1895/február: 114. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Bizonyítsuk be, hogy ha valamely háromszögben

\begin{matrix} sin C - cos B = cos A, \end{matrix}

(1)

vagy

\begin{matrix} a + cot (45^{\circ} - B) = \frac{2}{1 - cot C}, \end{matrix}

(2)

akkor a háromszög derékszögű. Megfordítva: minden derékszögű háromszögben

\begin{matrix} cos (2 C - B) = \frac{c}{a^{3}} (3 a^{2} - 4 c^{2}) . \end{matrix}

(3)

1)

-ből következik, miszerint

\begin{matrix} sin C = cos A + cos B = 2 cos \frac{A + B}{2} cos \frac{A - B}{2} \end{matrix}

\begin{matrix} 2 sin \frac{C}{2} cos \frac{C}{2} = 2 sin \frac{C}{2} cos \frac{A - B}{2} \end{matrix}

\begin{matrix} cos \frac{C}{2} = cos \frac{A - B}{2} \end{matrix}

\begin{matrix} C = A - B \end{matrix}

\begin{matrix} A = B + C = 90^{\circ} \end{matrix}

2)

-ből következik, minthogy

\begin{matrix} cot (45^{\circ} - B) = tan (45^{\circ} + B) = \frac{tan 45^{\circ} + tan B}{1 - tan 45^{\circ} tan B} = \frac{1 + tan B}{1 - tan B} \end{matrix}

\begin{matrix} 1 + \frac{1 + tan B}{1 - tan B} = \frac{2}{1 - cot C} = \frac{2}{1 - tan B} \end{matrix}

\begin{matrix} cot C = tan B \end{matrix}

\begin{matrix} C = 90^{\circ} - B \end{matrix}

s így tehát

\begin{matrix} A = 90^{\circ} \end{matrix}

Minthogy

\begin{matrix} cos (2 C - B) = cos 2 C cos B + sin 2 C sin B \end{matrix}

és

\begin{matrix} cos 2 C = 2 c o s^{2} C - 1 \end{matrix}

\begin{matrix} sin 2 C = 2 sin C cos C \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} cos (2 C - B) = 2 C cos^{2} C cos B - cos B + 2 sin C cos C sin B \end{matrix}

\begin{matrix} cos C = \frac{b}{a}, cos B = \frac{c}{a} \end{matrix}

\begin{matrix} sin C = \frac{c}{a}, sin B = \frac{b}{a} \end{matrix}

azért

\begin{matrix} cos (2 C - B) = 2 \frac{b^{2} c}{a^{3}} - \frac{c}{a} + 2 \frac{b^{2} c}{a^{3}} \end{matrix}

de minthogy

\begin{matrix} b^{2} = a^{2} - c^{2} \end{matrix}

tehát végre

\begin{matrix} cos (2 C - B) = \frac{c}{a^{3}} (3 a^{2} - 4 c^{2}) \end{matrix}

(A feladatot megoldották: Bolemann Béla, fg, VIII. Budapest; Friedmann Bernát, fg. VI. S.-A.-Ujhely; Grossmann Gusztáv, fg. VIII. Budapest, Grünhut Béla, fr. VI. Pécs; Jankovich György, fg. VIII. Losoncz; Meitner Elemér, fr. VIII. Budapest; Visnya Aladár, fr. VII. Pécs; Weisz Lipót fr. VI. Pécs. Jorga Gergely, Gilád.)