Feladat: 114. matematika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bolemann Béla ,  Friedmann Bernát ,  Grossmann Gusztáv ,  Grünhut Béla ,  Jankovich György ,  Jorga Gergely ,  Meitner Elemér ,  Visnya Aladár ,  Weisz Lipót 
Füzet: 1895/április, 123 - 124. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Derékszögű háromszögek geometriája, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Trigonometriai azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1895/február: 114. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Bizonyítsuk be, hogy ha valamely háromszögben

sinC-cosB=cosA,(1)
vagy
a+cot(45-B)=21-cotC,(2)
akkor a háromszög derékszögű. Megfordítva: minden derékszögű háromszögben
cos(2C-B)=ca3(3a2-4c2).(3)

Az 1)-ből következik, miszerint
sinC=cosA+cosB=2cosA+B2cosA-B2
2sinC2cosC2=2sinC2cosA-B2
cosC2=cosA-B2
C=A-B
A=B+C=90

A 2)-ből következik, minthogy
cot(45-B)=tan(45+B)=tan45+tanB1-tan45tanB=1+tanB1-tanB
1+1+tanB1-tanB=21-cotC=21-tanB
cotC=tanB
C=90-B
s így tehát
A=90
Minthogy
cos(2C-B)=cos2CcosB+sin2CsinB
és
cos2C=2cos2C-1
sin2C=2sinCcosC
tehát
cos(2C-B)=2Ccos2CcosB-cosB+2sinCcosCsinB
de
cosC=ba,cosB=ca
sinC=ca,sinB=ba
azért
cos(2C-B)=2b2ca3-ca+2b2ca3
de minthogy
b2=a2-c2
tehát végre
cos(2C-B)=ca3(3a2-4c2)

(A feladatot megoldották: Bolemann Béla, fg, VIII. Budapest; Friedmann Bernát, fg. VI. S.-A.-Ujhely; Grossmann Gusztáv, fg. VIII. Budapest, Grünhut Béla, fr. VI. Pécs; Jankovich György, fg. VIII. Losoncz; Meitner Elemér, fr. VIII. Budapest; Visnya Aladár, fr. VII. Pécs; Weisz Lipót fr. VI. Pécs. Jorga Gergely, Gilád.)