Kezdőlap


Feladat:	111. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Baruch Jenő , Fuchs Gyula , Goldberger Leó , Grossmann Gusztáv , Grünhut Béla , Imre János , Jorga Gergely , Suták Sándor , Visnya Aladár , Weisz Lipót
Füzet:	1895/április, 116 - 117. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Nevezetes azonosságok, Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Paraméteres egyenletrendszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1895/február: 111. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

\begin{matrix} X = a x + b y + c z \end{matrix}

\begin{matrix} Y = c x + a y + b z \end{matrix}

\begin{matrix} Z = b x + c y + a z \end{matrix}

akkor

\begin{matrix} X^{3} + Y^{3} + Z^{3} - 3 X Y Z = (a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 a b c) (x^{3} + y^{3} + z^{3} - 3 x y z) \end{matrix}

Ha az

1), 2)

és

3)

egyenletek jobboldalait köbre emeljük és a nyert kifejezéseket összeadjuk, a következő eredményt kapjuk:

\begin{matrix} X^{3} + Y^{3} + Z^{3} = (a^{3} + c^{3} + b^{3}) x^{3} + 3 [a^{2} (b y + c z) + c^{2} (a y + b z) + b^{2} (c y + a z)] x^{2} + \end{matrix}

\begin{matrix} 3 [a {(b y + c z)}^{2} + c {(a y + b z)}^{2} + b {(c y + a z)}^{2}] x + \end{matrix}

\begin{matrix} + {(b y + c z)}^{3} + {(a y + b z)}^{3} + {(c y + a z)}^{3} . \end{matrix}

Viszont

\begin{matrix} 3 X Y Z = 3 a b c x^{3} + 3 [(c b (b y + c z) + b a (a y + b z) + a c (c y + a z)] x^{2} + \end{matrix}

\begin{matrix} + 3 [a (a y + b z) (c y + a z) + c (c y + a z) (b y + c z) + b (b y + c z) (a y + b z)] x + \end{matrix}

\begin{matrix} + 3 (b y + c z) (a y + b z) (c y + a z) \end{matrix}

Tehát

\begin{matrix} X^{3} + Y^{3} + Z^{3} - 3 X Y Z = (a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 a b c) x^{3} + \end{matrix}

\begin{matrix} + 3 [(a^{2} - c b) (b y + c z) + (c^{2} - a b) (a y + b z) + (b^{2} - a c) (c y + a z)] x^{2} + \end{matrix}

\begin{matrix} + 3 [a {{(b y + c z)}^{2} - (a y + b z) (c y + a z)} + c {{(a y + b z)}^{2} - (c y + a z) \end{matrix}

\begin{matrix} (b y + c z)} + b {{(c y + a z)}^{2} - (b y + c z) (a y + b z)}] x + {(b y + c z)}^{3} + \end{matrix}

\begin{matrix} + {(a y + b z)}^{3} + {(c y + a z)}^{3} - 3 (b y + c z) (a y + b z) (c y + a z) . \end{matrix}

\begin{matrix} (a^{2} - c b) (b y + c z) + (c^{2} - a b) (a y + b z) + (b^{2} - a c) (c y + a z) = 0 \end{matrix}

továbbá

\begin{matrix} 3 [a {{(b y + c z)}^{2} - (a y + b z) (c y + a z)} + c {{(a y + b z)}^{2} - (c y + a z) (b y + c z)} + \end{matrix}

\begin{matrix} + b {{(c y + a z)}^{2} - (b y + c z) (a y + b z)}] = - 3 (a^{3} + c^{3} + b^{3} - 3 a c b) y z \end{matrix}

és végre

\begin{matrix} {(b y + c z)}^{3} + {(a y + b z)}^{3} + {(c y + a z)}^{3} - 3 (b y + c z) (a y + b z) (c y + a z) = \end{matrix}

\begin{matrix} (b^{3} + a^{3} + c^{3} - 3 b a c) y^{3} + (c^{3} + b^{3} + a^{3} - 3 c a b) z^{3} \end{matrix}

Tehát

\begin{matrix} X^{3} + Y^{3} + Z^{3} - 3 X Y Z = (a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 a b c) (x^{3} + y 3 + z^{3} - 3 x y z) \end{matrix}

Q.e.d.

A feladatot megfejtették: Fuchs Gyula, fr. VI. Pécs; Goldberger Leó, fr. VI. Pécs; Grosmann Gusztáv fg. VIII. Budapest; Grünhut Béla fr. VI. Pécs; Imre János, fg. VIII. Nyíregyháza; Suták Sándor, fg. VIII. Nyíregyháza; Visnya Aladár, fr. VII. Pécs; Weisz Lipót, fr. VI. Pécs; Baruch Jenő, fg. VIII. Nyíregyháza; Jorga Gergely, Gilád.