Feladat: 110. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Friedmann Bernát ,  Meitner Elemér ,  Visnya Aladár ,  Weisz Lipót 
Füzet: 1895/április, 121 - 122. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Hossz, kerület, Terület, felszín, Trapézok, Középértékek, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül négyszögekben, Szögfelező egyenes, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1895/február: 110. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A 109. feladat eredménye értelmében

pq=AD2-XY2XY2-BC2
tehát csak az XY egyenes hossza határozandó meg.
Legyen AB=a,BC=b,CD=c,DA=d és XY=z. Húzzuk a B pontból a BY'D' egyenest, mely CD-vel párhuzamos és az XY és AD egyeneseket Y' és D' pontokban metszi.
Ekkor a feladat értelmében
XB+BY'=Y'D'+D'A+AX.
Válasszunk az AD' egyenesen egy B' pontot úgy, hogy
XB=B'A+AX
és
Y'B=B'D'+D'Y'.
De
XB+AX=a=B'A+2AX
Y'B+D'Y'=c=B'D'+2D'Y'.
és
a:c=AX:D'Y'
tehát
AB':B'D'=a:c
vagyis B az ABD' szög felező egyenesének metszéspontja az AD' egyenessel. Így tehát
AB'=aAD'a+c
B'D'=cAD'a+c
és
2AX=a-aAD'a+c=a(a+c-AD')a+c
2D'Y'=c-cAD'a+c=c(a+c-AD')a+c
BX=a-12a(a+c-AD')a+c=a(a+c+AD')2(a+c)
BY'=c-12c(a+c-AD')a+c=c(a+c+AD')2(a+c)
Vagyis
BX=a(a+c+d-b)2(a+c)
De
XY':AD'=(z-b):(d-b)=a(a+c+d-b)2(a+c):a
(z-b):(d-b)=(a+c+d-b):2(a+c)
z=d-b2(a+c)(a+c+d-b)+b
s így végre a keresett:
z=(d-b)2+(a+c)(d+b)2(a+c)=d+b2+(d-b)22(a+c)

 
A feladatot megoldották: Friedmann Bernát, fg. VI. S.-A.-Ujhely; Meitner Elemér, fr. VIII. Budapest; Visnya Aladár, fr. VII. Pécs; Weisz Lipót, fr. VI. Pécs.