Kezdőlap


Feladat:	108. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Baruch Jenő , Grossmann Gusztáv , Imre János , Jankovich György , Visnya Aladár
Füzet:	1895/április, 119 - 120. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Csonkakúp, Terület, felszín, Térfogat, Gömb és részei, Egyenes körkúpok, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1895/február: 108. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$1^{\circ}$ . A metsző síknak távolsága az alapsíktól legyen $m$ , a kimetszett körök sugarainak közös értéke $r$ . Ennek értékeit a gömb és a kúpból meghatározva, kapjuk a következő egyenleteket:

\begin{matrix} r^{2} = R^{2} - {(R - m)}^{2}, r = R \frac{2 R - m}{2 R} \end{matrix}

\begin{matrix} r^{2} = 2 R m - m^{2}, 2 r = 2 R - m \end{matrix}

vagy a két egyenletből kiküszöbölve

r

-et

\begin{matrix} {(2 R - m)}^{2} = 8 R m - 4 m^{2} = 4 R^{2} - 4 R m + m^{2} \end{matrix}

\begin{matrix} 5 m^{2} - 12 R m + 4 R^{2} = 0 \end{matrix}

\begin{matrix} 10 m = 12 R \pm \sqrt[]{144 R^{2} - 80 R^{2}} \end{matrix}

\begin{matrix} 10 m = 12 R \pm 8 R \end{matrix}

\begin{matrix} m_{1} = \frac{2}{5} R \end{matrix}

\begin{matrix} m_{2} = 2 R \end{matrix}

2^{\circ}

. Megtartva a fentebbi jelöléseket, lesz a csonka kúp térfogata

\begin{matrix} V = \frac{m π}{3} (R^{2} + R r + r^{2}) \end{matrix}

a gömbszeleté

\begin{matrix} V' = \frac{m^{2} π}{3} (3 R - m) \end{matrix}

míg ismét

\begin{matrix} 2 r = 2 R - m \end{matrix}

tehát

V

értékének új alakja

\begin{matrix} V = \frac{m π}{12} (m^{2} + 6 R m + 12 R^{2}) \end{matrix}

s így a feltétel értelmében

\begin{matrix} \frac{m π}{12} (m^{2} - 6 R m + 12 R^{2}) = n \frac{m^{2} π}{3} (3 R - m) \end{matrix}

\begin{matrix} m^{2} - 6 R m + 12 R^{2} = 4 n m (3 R - m) \end{matrix}

\begin{matrix} (4 n + 1) m^{2} - 6 R (2 n + 1) m + 12 R^{2} = 0 \end{matrix}

Hogy a feladat megoldható legyen, kell, hogy az

1)

gyökei valósak és legalább egyikük

2 R

-nél kisebb legyen. Az első feltétel ki van elégítve, ha

\begin{matrix} 36 R^{2} {(2 n + 1)}^{2} - 48 R^{2} (4 n + 1) ≧ 0 \end{matrix}

\begin{matrix} 12 R^{2} (2 n - 1) (6 n + 1) ≧ 0 \end{matrix}

\begin{matrix} n ≧ \frac{1}{2} \end{matrix}

Hogy megtudhassuk, foglaltatik-e a gyökök egyike

0

és

2 R

között, behelyettesítjük ez értékeket az

1)

-be

m

helyébe; a helyettesítési értékek

\begin{matrix} f (0) = 12 R^{2} f (2 R) = 4 R^{2} (1 - 2 n) \end{matrix}

Az első positív, a második a

2)

értelmében

≦ 0

, tehát az

1)

gyökei közül a kisebbik mindig megfelel, ha

n ≧ \frac{1}{2}

A feladatot megoldották: Baruch Jenő, fg. VIII. Nyíregyháza; Grossmann Gusztáv, fg. VIII. Budapest; ifj. Imre János, fg. VIII. Nyíregyháza; Jankovich György, fg. VIII. Losoncz; Visnya Aladár, fr. VII. Pécs.