Feladat:	107. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Klug Lipót ,  Meitner Elemér ,  Visnya Aladár ,  Weisz Lipót
Füzet:	1895/április, 118 - 119. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Diszkusszió, Négyszögek szerkesztése, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Rombuszok, Beírt alakzatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1895/február: 107. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás:   Az adott $ABCD$ derékszögű négyszög $AB\mathrm{,}BC\mathrm{,}CD\mathrm{,}$ és $DA$ oldalainak felezőpontjait $E\mathrm{,}F\mathrm{,}G$ és $H$-nak az $EFGH$ rombus $EF\mathrm{,}FG\mathrm{,}GH\mathrm{,}$ és $HE$ oldalainak egymásra következő metszőpontjait az adott körrel $P_1\mathrm{,}{Q}_1;P_2\mathrm{,}{Q}_2;P_3\mathrm{,}{Q}_3$ és $P_4\mathrm{,}{Q}_4$-nek nevezvén, azon egyesek, melyek $K$-t a $P_1\mathrm{,}{P}_2\mathrm{,}{P}_3\mathrm{,}$ és $P_4$ pontokban, valamint azok, melyek $K$-t a $Q_1;Q_2\mathrm{,}{Q}_3;$ és $Q_4\mathrm{,}$ pontokban érintik, a keresett két kongruens és $EFGH$-hoz hasonló rombus oldalait képezik.   Bebizonyítás:   Nevezzük $K$ kör középpontját $O$-nak, a $P_1$ pont érintőjének metsző pontjait az $AB\mathrm{,}BC$ egyenesekkel $I\mathrm{,}K$-nak. $IEO{P}_1$ és $P_{1}OFK$ négyszögek húrnégyszögek, mert $IEO\mathrm{,}IP\mathrm{,}O\mathrm{,}O{P}_{1}K\mathrm{,}KFO$ derékszögek, tehát $\begin{array}{c}{\displaystyle OI{P}_1=OE{P}_1\mathrm{,}{P}_{1}KO=P_{1}FO\text{és}IOK=EOF=\text{derékszög}\mathrm{.}}\end{array}$ Ennélfogva $\begin{array}{c}{\displaystyle IOK\text{hasonló}EOF\text{háromszög}}\end{array}$ egyik negyedét képezi annak az $IKLM$ rombusnak, melynek oldalai a $K$ kört érintik és az $ABCD$ derékszögű négyszögbe be van írva. E rombusnak $IK$-val szemben fekvő oldala $LMK$-t $P_3$-ban érinti, mert $P_1{P}_2$ $K$-nak középpontján megy keresztül; továbbá $KL$ oldala $K$-t $P_2$-ben érinti, mert $P_{1}KO=P_{1}FO=OF{P}_2=OK{P}_2$. A feladatnak $\mathrm{2,}\mathrm{1,}0$ valós megoldása van a szerint, a mint $K$ kör az $EFGH$ rombusnak egyik oldalát $\mathrm{2,}\mathrm{1,}0$ valós pontban metszi.   Klug Lipót. A feladatot még megoldotta: Meitner Elemér fr. VIII. o. t. Budapest.   Második megoldás:   Legyenek a jelzések ugyanazok mint előbb. Látjuk, hogy az $EBFO$ húrnégyszög, tehát az $EFO$ szög $=EBO$ szöggel $=\alpha$. De az $EFO$ háromszög magassága nem egyéb az adott kör sugaránál, tehát $\begin{array}{c}{\displaystyle OE=\frac{R}{\text{cos}\alpha }=OG}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle OF=\frac{R}{\text{sin}\alpha }=OH}\end{array}$ Megkapjuk tehát az $EFGH$ rombus csúcspontjait, ha az $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{R}{\text{cos}\alpha }\text{és}\frac{R}{\text{sin}\alpha }}\end{array}$ sugarakkal köröket írunk le. A szerint, amint ezek a körök $2-\mathrm{2,}1-1$ vagy egy pontban sem metszik a négyszög oldalait, a feladatnak $\mathrm{2,}1$ vagy $0$ megoldása van.   (Visnya Aladár fr. VII. o. t. Pécs). A feladatot még megoldotta: Weisz Lipót fr. VI o. t. Pécs.