Feladat:	101. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Alex Ernő ,  Berczely Harry ,  Berzenczey Domokos ,  Bolemann Béla ,  Breznyik János ,  Fried Ármin ,  Friedmann Bernát ,  Gerde Ödön ,  Grossmann Gusztáv ,  Hertzka Róbert ,  Jankovich György ,  Jorga Gergely ,  Kiss Jenő ,  Lauber Dezső ,  Meitner Elemér ,  Pap Pál ,  Schulhof Gábor ,  Segesváry Ferencz ,  Seidner Mihály ,  Stern Hugó ,  Visnya Aladár
Füzet:	1895/február, 87 - 89. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Számtani sorozat, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Terület, felszín, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1894/december: 101. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Első megoldás.   A háromszög oldalai; $a\mathrm{,}a+d\mathrm{,}a+2d;$ a $\Delta$ területe $\begin{array}{c}{\displaystyle T=\sqrt[]{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)\mathrm{,}}}\end{array}$ hol $\begin{array}{c}{\displaystyle s=\frac{a+b+c}{2}\mathrm{,}s=\frac{3}{2}\left(a+d\right)}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle \left[s-\left(a+d\right)\right]=\frac{a+d}{2}\mathrm{,}\left[s-\left(a+2d\right)\right]=\frac{a-d}{2}}\end{array}$ Alkalmazva tehát $\begin{array}{c}{\displaystyle T=\sqrt[]{\frac{3}{2}\left(a+d\right)\left(\frac{a+d}{2}\right)\left(\frac{a-d}{2}\right)\left(\frac{a+3d}{2}\right)}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle T=\frac{a+d}{4}\sqrt[]{2\left(a-d\right)\left(a+3d\right)\mathrm{.}}}\end{array}$ Vegyük fel, hogy $\left(a+d\right)=x$, akkor $\begin{array}{c}{\displaystyle T=\frac{x}{4}\sqrt[]{3\left(x-2d\right)\left(x+2d\right)}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle 4T=x\sqrt[]{3\left(x^2-4d^2\right)}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle 16T^2=3x^4-12x^2{d}^2\mathrm{,}}\end{array}$ melyből $\begin{array}{c}{\displaystyle x=\pm \sqrt[]{\frac{+12d^2\pm \sqrt[]{144d^4+192T^2}}{6}}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle x=\pm \sqrt[]{\frac{6d^2\pm \sqrt[]{36d^4+48T^2}}{3}}=a+d}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle a=-d\pm \sqrt[]{\frac{6d^2\pm \sqrt[]{36d^4+48T^2}}{3}}\mathrm{,}}\end{array}$ mely egyenletbe $d$-nek fent adott $d=1$ és T=6 értékeket behelyettesítve, lesz $\begin{array}{c}{\displaystyle a=-1\pm \sqrt[]{\frac{6\pm \sqrt[]{36+1728}}{3}}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle a=-1\pm \sqrt[]{\frac{6\pm \sqrt[]{1764}}{3}}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle a=-1\pm \sqrt[]{\frac{6\pm 42}{3}}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle a=-1\pm 4}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle a=3;a+d=4;a+2d=\mathrm{5,}}\end{array}$ az a háromszög tehát derékszögű háromszög, melynek átfogója $5$. A szögekre nézve pedig $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{cos}\frac{\alpha }{2}=\sqrt[]{\frac{s\left(s-a\right)}{bc}}\mathrm{.}}\end{array}$ Minthogy azonban derékszögű háromszögről van szó, azért én a $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{sin}\alpha =\frac{a}{c}}\end{array}$ képletet használhatom $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{sin}\alpha =\frac{3}{5}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{log}\text{sin}\alpha =\text{log}3-\text{log}5}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{log}3=\mathrm{0,47712}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{log}5=\underline{\mathrm{0,69897}}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{log}\text{sin}\alpha =\mathrm{9,77815}-10}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle \alpha ={36}^{\circ }52\text{'}\mathrm{10,71}\text{'}\text{'};\beta =90-\alpha ={53}^{\circ }7\text{'}\mathrm{49,29}\text{'}\text{'}}\end{array}$ Seidner Mihálynak a math. és phys. társulat I. versenyén az I. b. Eötvös-díjjal jutalmazott dolgozata.   Második megoldás.   Legyen a $3$-szög egyik oldala $=b$, akkor $a=b-d$ és $c=b+d$, továbbá $\begin{array}{c}{\displaystyle s=\frac{a+b+c}{2}=\frac{3b}{2};s-a=\frac{b}{2}+d\mathrm{,}s-b=\frac{b}{2}\mathrm{,}s-c=\frac{b}{2}-d\mathrm{,}}\end{array}$ s mivel $\begin{array}{c}{\displaystyle t=\sqrt[]{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}\mathrm{,}}\end{array}$ azért $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{3b^2}{4}\left(\frac{b}{2}+d\right)\left(\frac{b}{2}-d\right)=t^2}\end{array}$ s innen $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{3b^2}{4}\left(\frac{b^2}{4}-d^2\right)=t^2}\end{array}$ és $\begin{array}{c}{\displaystyle b^4-4b^2{d}^2=\frac{16t^2}{3}}\end{array}$ s ebből $\begin{array}{c}{\displaystyle b=\sqrt[]{2d^2+\sqrt[]{4d^4+\frac{16t^2}{3}}}=\sqrt[]{2\left(d^2+\sqrt[]{d^2+\frac{4t^2}{3}}\right)}}\end{array}$ A gyökjelek előtt azért alkalmazunk $+$ jelt, mert $b$-nek tagadó és imaginarius szám nem felelhet meg. Az utolsó képlet alapján $\begin{array}{c}{\displaystyle a=b-d=-d+\sqrt[]{2\left(d^2+\sqrt[]{d^4+\frac{4t^2}{3}}\right)}}\end{array}$ és $\begin{array}{c}{\displaystyle c=b+d=d+\sqrt[]{2\left(d^2+\sqrt[]{d^4+\frac{4t^2}{3}}\right)}\mathrm{.}}\end{array}$ Az ismeretlen szögeket legczélszerűbben a $t={\displaystyle \frac{bc}{2}}\text{sin}\alpha$ és $t={\displaystyle \frac{ac}{2}}\text{sin}\beta$ és $\gamma ={180}^{\circ }-\alpha -\beta$ képletek alapján határozhatjuk meg, a honnan $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{sin}\beta =\frac{2t}{ac}\mathrm{,}\text{sin}\alpha =\frac{2t}{bc}\mathrm{.}}\end{array}$ Ha $d=1$ és $t=6$, akkor $\begin{array}{c}{\displaystyle b=\sqrt[]{2\left(d^2+\sqrt[]{d^4+\frac{4t^2}{3}}\right)}=\sqrt[]{2\left(1+\sqrt[]{1+\frac{\mathrm{4,36}}{3}}\right)}=}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle =\sqrt[]{2(1+\sqrt[]{49)}}=4}\end{array}$ $a=b-d=\mathrm{3,}c=b+d=5.$ Tehát $a=\mathrm{3,}b=\mathrm{4,}c=5$. A szögekre nézve: $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{sin}\alpha =\frac{2t}{bc}=\frac{2\cdot 6}{20}=\frac{3}{5}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{log}3=\mathrm{0,477121}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle \underline{-\text{log}5=\mathrm{0,698970}}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{log}\text{sin}\alpha =\mathrm{9,778151}-10}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{14}{32}:\mathrm{2,81}=}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle \alpha ={36}^{\circ }52\text{'}12\text{'}\text{'}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{sin}\beta =\frac{2t}{bc}=\frac{4}{5}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{log}4=\mathrm{0,602060}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle \underline{\text{log}5=\mathrm{0,698970}}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{log}\text{sin}\beta =\mathrm{9,903090}-10}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{19}{76}:\mathrm{1,58}=48}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle \beta ={53}^{\circ }7\text{'}48\text{'}\text{'}}\end{array}$ Mivel pedig $\alpha +\beta ={90}^{\circ }$, azért $\gamma ={180}^{\circ }-\left(\alpha +\beta \right)={90}^{\circ }$.   Pap Pálnak a math. és phys. társulat I. versenyén a II. b. Eötvös-díjjal jutalmazott dolgozata.   A feladatot még megoldották: Alex Ernő, fg. VIII. Budapest; Berczely Hary, fg. VIII. Budapest; Berzenczey Domokos, fr. VII. Déva; Bolemann Béla, fg. VIII. Budapest; ifj. Breznyik János, lyc. VIII. Selmeczbánya; Fried Ármin, fr. VII. Déva; Friedmann Bernát, fg. VI. S. A.-Ujhely; Gere Ödön, fg. VIII. Budapest; Jankovich György, fg. VIII. Losoncz; Jorga Gergely, Gilád; Kiss Jenő, fr. VIII. Budapest; Lauber Dezső, fr. VII. Pécs; Meitner Elemér, fr. VIII. Budapest; Schulhof Gábor, fr. VIII. Pécs; Segesváry Ferencz, fg. VIII. Budapest; Stern Hugó, fr. VII. Debrecen; Visnya Aladár, fr. VII. Pécs.