Feladat:	100. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Debreczeni áll. főreálisk. VIII. oszt. ,  Friedmann Bernát ,  Grünhut Béla ,  Kiss Jenő ,  Lauber Dezső ,  Meitner Elemér ,  Pap Pál ,  Schulhof Gábor ,  Seidner Mihály ,  Visnya Aladár ,  Weisz Lipót ,  Zsaborszky Ferenc
Füzet:	1895/február, 85 - 87. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Diszkusszió, Háromszögek szerkesztése, Thalesz-kör, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1894/december: 100. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Első megoldás. A szerkesztés alapja az, hogy a félkör alapon nyugvó kerületi szög derékszög. Ha tehát én a $P$-t és $Q$-t összekötő egyenest felezem, s a felezési pontból, mint középpontból a felezett távolsággal, mint sugárral kört rajzolok, akkor ezen kör bármely pontjából kiinduló és a $P$ és $Q$ pontokon átmenő két egyenes derékszöget zár be. A két kör metszési pontjában lesz a keresett háromszög derékszögének csúcspontja, miből önként következik, hogy a feladat csak akkor oldható meg, ha $P-Q$ távolság fele nagyobb, mint a $Q-P$ vonalnak a kör kerületétől való távolsága, s ha a $P$ és $Q$ pontok a körön belül vannak.   Seidner Mihálynak a math. és phys. társulat I. versenyén az I. b. Eötvös-díjjal jutalmazott dolgozata.   Második megoldás.   A $p$ és $q$ pontokat összekötő $pq$ egyenes a körbe rajzolt derékszögű 3-szög befogóinak ama részeivel, melyek a derékszög felé esnek, egy kisebb derékszögű 3-szöget alkot, melynek átlója $pq$. Az adott $p$ és $q$ pontokon át úgy szerkesztünk derékszögű háromszöget, hogy a $pq$ egyenes felező pontjából ${\displaystyle \frac{pq}{2}}$ sugárral kört rajzolunk. E kör geometriai helye lesz oly derékszögű 3-szög csúcspontjainak, melyeknek átfogója $pq$. Minthogy pedig egy adott körbe rajzolt derékszögű 3-szög kerestetik, keresett csúcspont az adott körvonal és a rajzolt ${\displaystyle \frac{pq}{2}}$ sugarú körvonal két metszéspontja lesz. A csúcspontokból a $p$ és $q$ pontokon keresztül menő s az adott kör kerületéig terjedő egyenesek lesznek a keresett derékszögű háromszögek befogói. A keresett háromszöget itt $ABC$ és $A\text{'}B\text{'}C\text{'}$. Ha $p$ és $q$ pontok olyan helyzetet foglalnak el, hogy a rajtok keresztül haladó ${\displaystyle \frac{pq}{2}}$ sugarú kör nem metszi az adott kört, a megoldás lehetetlen. E két kör pedig nem metszi egymást akkor, ha $\begin{array}{c}{\displaystyle OO\text{'}>r+\frac{pq}{2}}\end{array}$ 1) $\begin{array}{c}{\displaystyle OO\text{'}>r-\frac{pq}{2}}\end{array}$ 2) $OO\text{'}$ jelenti az adott kör középpontjának a $pq$ egyenes felező pontjától való távolságát, $r$ az adott kör sugarát. Ha $p$ és $q$ a kör kerületén belül fekszik, s a megfejtésre nézve kedvező helyzetet foglal el, akkor a két derékszögű 3-szög befogói tényleg átmennek a két ponton; ha pedig a két pont a kerületen kívül fekszik, akkor a befogók meghosszabbításai. Ha a két pont az adott kör kerületébe esik, végtelen számú megoldás van.   Pap Pálnak a math. és phys. társulat I. versenyén a II. b. Eötvös-díjjal jutalmazott dolgozata.   A feladatot még megodották: A debrecezeni fr. VIII. o. tanulói; Friedmann Bernát, fg. VIII. S. A. Ujhely. Grünhut Béla, fr. VI. Pécs; Kiss Jenő, fr. VIII. Budapest; Lauber Dezső, fr. VII. Pécs; Meitner Elemér, fr. VIII. Budapest; Schulhof Gábor, fr. VIII. Pécs; Visnya Aladár, fr. VII. Pécs; Weisz Lipót, fr. VI. Pécs; Zsaborszky Ferencz, fr. VII. Pécs.