Kezdőlap


Feladat:	99. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Berczeli Harry , Breznyik János , Fleischner Illés , Friedmann Bernát , Grossmann Sándor , Grünhut Béla , Imre János , Jorga Gergely , Kiss Jenő , Kovács Ernő , Kürschák József , Lauber Dezső , Meitner Elemér , Pap Pál , Schulhof Gábor , Segesváry Ferencz , Seidner Mihály , Suták Sándor , Szente Lajos , Visnya Aladár , Weisz Lipót
Füzet:	1895/február, 83 - 84. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú diofantikus egyenletek, Oszthatóság, Lineáris kongruencia-rendszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1894/december: 99. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Első megoldás.

Vegyük fel, hogy

2 x + 3 y = n \cdot 17

, hol

n

valamely positív egész szám. Ezen egyenletből

\begin{matrix} x = \frac{17 \cdot n - 3 y}{2} = 8 n - y + \frac{n - y}{2} \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{n - y}{2} = s, \end{matrix}

melyből

\begin{matrix} y = n - 2 s \end{matrix}

\begin{matrix} x = 8 n - n + 2 s + s = 7 n + 3 s, \end{matrix}

x

-nek eme értékeit a másik

(9 x + 5 y)

kifezésbe behelyettesítve lesz:

\begin{matrix} 9 x + 5 y = 62 n + 27 s + 5 n - 10 s = 68 n + 17 s = 17 (4 n + s) \end{matrix}

miből látjuk, hogy

(9 x + 5 y)

szintén többszöröse

17

-nek, tehát ezzel osztható.

Seidner Mihálynak a math. és phys. társulat I. versenyén az I. b. Eötvös-díjjal jutalmazott dolgozata.

Második megoldás.

Osszuk a két kifejezést

17

-el, legyenek ekkor a hányadosok:

q

és

q'

akkor

\begin{matrix} \frac{2 x + 3 y}{17} = q \end{matrix}

és

\begin{matrix} \frac{9 x + 5 y}{17} = q' . \end{matrix}

Szorozzuk meg az első egyenletet

4

-el, s az így nyert egyenletet adjuk össze a másodikkal, akkor

\begin{matrix} \frac{8 x + 12 y}{17} = 4 q \end{matrix}

\begin{matrix} + \frac{9 x + 5 y}{17} = q' \end{matrix}

\begin{matrix} x + y = 4 q + q' . \end{matrix}

x

és

y

bizonyos egész számú értékénél tehát

p

. a

2 x + 3 y

kifejezés osztható

17

-el, vagyis

q

egész szám, akkor az utolsó egyenlet szerint a

9 x + 5 y

kifejezés is osztható

17

-el, mert

q'

is egész szám. Az utolsó egyenletben ugyanis

x + y

és

4 q

egész számok, következésképp

q'

is egész szám, mert egész szám csakis egész számmal összeadva ad eredményül egész számot.

Pap Pálnak a math. és phys. társulat I. versenyén a II. b. Eötvös-díjjal jutalmazott dolgozata.

Harmadik megoldás.

A feladat értelmében

\begin{matrix} 2 x + 3 y = 17 p . \end{matrix}

\begin{matrix} 9 x + 5 y = 17 q . \end{matrix}

Hogy jelen egyenletrendszer gyökei egész számok, azt az egyenletek megoldása közvetlenül mutatja. Ugyanis

\begin{matrix} x = 3 q - 5 p \end{matrix}

\begin{matrix} y = 9 p - 2 q, \end{matrix}

mely értékek

p

és

q

egész számértékei mellett szintén egész számok.

Suták Sándor, fg. VIII. Nyíregyháza.

A feladatot még megodották: Berczeli Harry, fg. VIII. Budapest; ifj. Breznyik János, lyc. VIII. Selmeczbánya; Fleischmann Illés fg. VIII. Budapest; Friedmann Bernát fg. VI. S.-A.-Ujhely; Grossmann Gustáv, fg. VIII. Budapest; Grünhut Béla fr. VI. Pécs; Imre János, fg. VIII. Nyíregyháza; Jorga Gergely, Gilád; Kiss Jenő, fr. VIII. Budapest; Kovács Ernő, fg. VIII. Budapest; Lauber Dezső, fr.VII. Pécs; Meitner Elemér, fr. VIII. Budapest; Schulhof Gábor, fr. VIII. Pécs; Segesváry Ferencz, főg. VIII. Budapest; Szente Lajos, főg. VIII. Budapest; Visnya Aladár, fr. VII. Pécs; Weisz Lipót fr. VI. Pécs.