Kezdőlap


Feladat:	98. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Alex Ernő , Berczeli Harry , Bolemann Béla , Breznyik János , Friedmann Bernát , Gerde Ödön , Grossmann Gusztáv , Hertzka Róbert , Kovács Ernő , Meitner Elemér , Müller Viktor , Segesváry Ferencz
Füzet:	1895/február, 82 - 83. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Annuitás, Mértani sorozat, Szöveges feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1894/december: 98. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelelje $k$ az $1 + \frac{p}{100}$ értéket, vagyis $1$ frtnak értékét $1$ év múlva. Ekkor az első év végén fizetett $a$ összeg értéke az első év elején $\frac{a}{q}$ . A többi évek végeivel fizetett részletek értékei az első év elején

\begin{matrix} \frac{a}{q^{2}}, \frac{a}{q^{3}}, ..., \frac{a}{q^{n}} . \end{matrix}

De ezek összesen éppen

c

-vel lévén egyenlők, lesz

\begin{matrix} c = \frac{a}{q} + \frac{a}{q^{2}} + \frac{a}{q^{3}} + ... + \frac{a}{q^{n}} \end{matrix}

\begin{matrix} c = \frac{a}{q} \frac{1 - {(\frac{1}{q})}^{n}}{1 - \frac{1}{q}} = \frac{a}{q^{n}} \frac{q^{n} - 1}{q - 1} \end{matrix}

és így tehát

\begin{matrix} a = c q^{n} \frac{q - 1}{q^{n} - 1} \end{matrix}

n

év alatt összesen kamatok fejében fizetett összeg

\begin{matrix} n a - c = \frac{n q^{n + 1} - (n + 1) q^{n} + 1}{q^{n} - 1} \end{matrix}

Meitner Elemér, főr. VIII. o. t. Budapest.

A feladatot még megoldották: Alex Ernő, Berczeli Harry, Bolemann Béla, Gerde Ödön, Grossmann Gusztáv, Hertzka Róbert, Kovács Ernő, Müller Viktor, Segesváry Ferencz fg. VIII. o. tanulók Budapest; ifj. Breznyik János, lyc. VIII. Selmeczbánya; Friedmann Bernát, fg. VI. S.-A.Ujhely.