Feladat:	95. matematika feladat	Korcsoport: -	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Maksay Zsigmond
Füzet:	1895/március, 99 - 102. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Terület, felszín, Projektív geometria, Háromszögek szerkesztése, Hiperbola, mint mértani hely, Geometriai transzformációk, Szinusztétel alkalmazása, Háromszögek hasonlósága, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1894/december: 95. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Második megoldás.   Legyen az adott háromszög $ABC$ s az adott pont $P$ pl. a $C$ szög szárai közt.   a) A háromszög kerületén kívül. Ha az $a$ oldalt $m:n$ arány szerint osztjuk belől s az osztó pont $A_1$, akkor: $\begin{array}{c}{\displaystyle A{A}_{1}B:A{A}_{1}C=m:n=B{A}_1:A_{1}C\mathrm{,}}\end{array}$ és $\begin{array}{c}{\displaystyle B{A}_1=r=\frac{a}{1+\lambda }\mathrm{,}\text{ hol }\lambda =\frac{m}{n}\mathrm{.}}\end{array}$ Legyen a $P$ ponton átmenő azon egyenes, mely pl. a $B$ szög szárait vágván a háromszöget a kívánt módon osztja, $PE$; s $D$ meg $E$ a $c$ illetőleg $a$ oldallal képezett metszéspontok. $\begin{array}{c}{\displaystyle BE=x\mathrm{,}BD=y\mathrm{.}}\end{array}$ Húzzunk $P$ ponton át az $a$ és $c$ oldalakkal $PQ=p$ és $PR=q$ párhuzamos vonalakat, $Q$ a $c$, $R$ az $a$ oldal pontja lévén. A származott háromszögek közt a következő összefüggések állanak fenn: $\begin{array}{c}{\displaystyle xy=cr}\end{array}$ 1) $\begin{array}{c}{\displaystyle PRE\sim DBE}\end{array}$ s így $\begin{array}{c}{\displaystyle q:y=\left(x+p\right):x}\end{array}$ azaz $\begin{array}{c}{\displaystyle qx-py=cr}\end{array}$ 2) 1. és 2.-ből $\begin{array}{c}{\displaystyle q{x}^2-crx=pcr\mathrm{,}}\end{array}$ honnan $\begin{array}{c}{\displaystyle x=\frac{cr}{2q}\pm \sqrt[]{{\left(\frac{cr}{2q}\right)}^2+p\frac{cr}{q}}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle x_1=BE\mathrm{,}{X}_2=B{E}_1}\end{array}$ mindkettő valós érték s a feladat követelményeit annyiban kielégíti, hogy mind a $PE$, mind a $P{E}_1$ egyenes a $B$ szög szárain $A{A}_{1}B$-vel egyenlő nagyságú háromszöget vág le, de közülük csak $DBE$ az, mely az $ABC$ háromszög területének része lehet. Az $x_1$ és $x_2$ értékeket következő módon szerkesztjük: $A$-ból $Q{A}_1$-gyel párhuzamost húzván, ennek $a$ oldallal való metszéspontja $A_2$ és $\begin{array}{c}{\displaystyle B{A}_2=\frac{cr}{q}}\end{array}$ $\left(B{A}_2+p\right)$ fölött félkört írván le, ennek az $a$ oldalra $B$ pontban emelt merőlegessel való $B_1$ metszéspontjának $B{A}_2$ felező pontjától $\left(O\right)$ mért távolságát $O$-ból jobbra-balra $a$ oldalra forgatjuk, miáltal az $E$ és $E_1$ keresett pontokhoz jutunk, mert: $\begin{array}{c}{\displaystyle B{B}_1=\sqrt[]{p\frac{cr}{q}}\text{és}O{B}_1=\sqrt[]{{\left(\frac{cr}{2q}\right)}^2+p\frac{cr}{q}}\mathrm{,}}\end{array}$ tehát $\begin{array}{c}{\displaystyle BE=\frac{B{A}_2}{2}+O{B}_1=x\mathrm{,}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle B{E}_1=\frac{B{A}_2}{2}-O{B}_1=x_2}\end{array}$ Az eljárást teljesen hasonló módon ismételjük, ha az $ABC$ háromszöget $A$ szög szárait metsző egyenessel akarjuk osztani. Megeshetik, hogy vagy az $A$ vagy a $B$ szög szárait metsző $PE$ egyenesek mindkét $E$ és $E_1$ metszéspontja a $b$ illetőleg $a$ oldal megnyújtására esik. Ez esetben csak az egyik szög szárain fogunk egy $A{A}_{1}B$ és egy $A{A}_{1}C$ -vel egyenlő háromszöget levághatni, tehát minden esetben a $P$ ponton át két oly egyenes húzható, mely a feladat követelményeinek teljesen megfelel. Azt, hogy az itt említett eset mikor állhat be, már előre eldönthetjük, ha $P$ pont helyzetét vizsgáljuk. A $c$ oldalt a lehető kétféleképpen osztván belől $m:n$ arány szerint, legyenek az osztó pontok $C_1$ és $C_2$, az első $B$, a másik $A$ csúcs felé esvén. $C{C}_1$ és $C{C}_2$ vonalak a $C$ szög szárai közt lévő területet három részre osztják. Ha $P$ pont $C_{1}C{C}_2$ szög szárai közé esik, a $PE$ vonalak egyike $a$, másika $b$ oldalt fogja vágni. $P$ a $C_{1}CB$ szög szárai közé esvén a $PE$ osztó vonalak mindketteje $A$ szög szárait vágja, mig ha $P$ a $C_{2}CA$ szögbe esik: az osztó vonalak mindketteje $B$ szög szárait metszi. Egyszerű meggondolás mutatja, hogy a tárgyalt esetben nem lehet a háromszöget $C$ szög szárait metszőleg osztani.   $b)P$ a háromszög kerületén belől van. A jelöléseket és segédvonalakat megtartván, a származott háromszögekből: $\begin{array}{c}{\displaystyle xy=cr}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle q:y=\left(x-p\right):x}\end{array}$ azaz $\begin{array}{c}{\displaystyle qx+py=cr}\end{array}$ $1)$ és $2)$-ből $\begin{array}{c}{\displaystyle q{x}^2-crx+pcr=\mathrm{0,}}\end{array}$ tehát $\begin{array}{c}{\displaystyle x=\frac{cr}{2q}\pm \sqrt[]{{\left(\frac{cr}{2q}\right)}^2-p\frac{cr}{q}}}\end{array}$ Látni való, hogy míg az előbbi esetben mindig volt két valós megoldása a feladatnak, most általában ezt nem mondhatjuk, mert a megoldás lehetősége nemcsak $P$ pont helyzetétől, hanem az $m:n$ aránytól is függ, az egyenlet discriminansa külömbség lévén.   $\alpha )$ Ha $\begin{array}{c}{\displaystyle cr-4pq>\mathrm{0,}}\end{array}$ akkor mindig két, négy, esetleg hat egyenes húzható a $P$ ponton át, melyek mindegyike a kívánt módon osztja a háromszöget, mert mind a három szög szárait metszőleg osztható két-két módon a háromszög. Minthogy $\begin{array}{c}{\displaystyle r=\frac{a}{1+\lambda }\mathrm{,}}\end{array}$ tehát $\begin{array}{c}{\displaystyle \lambda =\frac{ac-4pq}{4pq}=\frac{n}{m}}\end{array}$ az aránynak legnagyobb, illetőleg legkisebb értéke, mely mellett az osztás még lehetséges. Például a súlyponton keresztül csak oly egyenesek húzhatók, melyek a háromszöget osztván, rájuk az $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{5}{4}\geqq \lambda \geqq \frac{4}{5}}\end{array}$ egyenlőtlenség áll fenn, mint az $\lambda$ felírt alakjából ez esetre következik. Ugyanis ez esetben $\begin{array}{c}{\displaystyle p=\frac{a}{3}\mathrm{,}q=\frac{c}{3}\text{és}4pq=\frac{4ac}{9}\mathrm{,}}\end{array}$ tehát $\lambda ={\displaystyle \frac{5}{4}}$ a maximum és $\lambda ={\displaystyle \frac{4}{5}}$ a minimum. Az $x$ értékeit a következő módon szerkeszthetjük: $A$ pontból $Q{A}_1$-gyel párhuzamosat húzván az $a$ oldallal való metszéspont $A_2$ és így: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{cr}{q}=B{A}_2}\end{array}$ $B{A}_2$ fölött félkört rajzolunk, melynek az $a$-ra $R$ pontban emelt merőlegessel képezett $R_1$ metszéspontjának $B$-től való távolságát a $b$ -ben $a$-ra emelt merőlegesre forgatjuk s így nyert $B_1$ pontból $a$ oldallal párhuzamost húzván, ennek az elébbi körrel való metszéspontjait $a$-ra vetítvén, a származott $E_1$ és $E_2$ pontoknak $P$-vel való összekötése adja az osztó egyeneseket. Ugyanis: $\begin{array}{c}{\displaystyle B{R}_1=\sqrt[]{p\frac{cr}{q}}\text{és}OE=\sqrt[]{{\left(\frac{cr}{2q}\right)}^2-p\frac{cr}{q}}\mathrm{,}}\end{array}$ tehát $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{B_1{A}_2}{2}+OE=x_1=BE}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{B{A}_2}{2}-OE=x_2=B{E}_1}\end{array}$ Míg azonban $E_1$ pont mindig $BC$ közön van, $E$ esetleg annak megnyújtására esik. Ez esetben az $A$ szög szárain kell $A{A}_{1}C$-vel egyenlő háromszöget levágnunk. Ha pedig $P{E}_1$ egyenesnek $c$-vel való metszése $c$ megnyújtására esik, akkor $C$ szög szárain vágható le $A{A}_{1}C$-vel egyenlő háromszög, hogy a feladat követelése kielégíttessék. $\beta )$ Ha $\begin{array}{c}{\displaystyle cr-4pq=0}\end{array}$ az $E$ és $E_1$ pontok $B{A}_2$ felező pontjába esnek, melynek $P$-vel való kapcsolata az osztó egyenes. A szerkesztés hasonló meggondolások alapján történik, ha az $A$ vgy a $C$ szög szárait metszőleg akarjuk a háromszöget osztani. Az előbbiek teljes felvilágosítást adnak arra az esetre is, ha $P$ pont a háromszög kerületében van. Ez esetben $p=0$ mindig és $\begin{array}{c}{\displaystyle x=\frac{cr}{q}=B{A}_2\mathrm{.}}\end{array}$ $\gamma )$ Ha $\begin{array}{c}{\displaystyle cr-4pq<0}\end{array}$ egy megoldás sincsen. Maksay Zsigmond, Pécs.