Kezdőlap


Feladat:	95. matematika feladat	Korcsoport: -	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	A.D. , Klug Lipót , Maksay Zsigmond
Füzet:	1895/január, 71 - 76. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Terület, felszín, Projektív geometria, Háromszögek szerkesztése, Hiperbola, mint mértani hely, Geometriai transzformációk, Szinusztétel alkalmazása, Háromszögek hasonlósága, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1894/december: 95. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Első megoldás.

I. Bevezetés.

Hogy föntebbi feladatot megoldhassuk, néhány segédtételre van szükségünk, melyeket a következőkben levezetünk, megállapítván a bennök fellépő fogalmak értelmét.
1) Legyen adva két egyenes

e_{1}

és

e

és az egyiken az

Q A_{1}, B_{1}

és

C_{1}

pont, míg a másikon az

A_{2}, B_{2}

és

C_{2}

pont. Nevezzük az ugyanazon betűkkel jelzett pontokat egymásnak megfelelőknek és válasszunk az első egyenesen egy tetszéssszerinti

4

-ik

X_{1}

pontot. A második egyenesen az

X_{1}

-nek megfelelő

X_{2}

pontot szolgáltassa az

\begin{matrix} (A_{1} B_{1} C_{1} X_{1}) = (A_{2} B_{2} C_{2} X_{2}) \end{matrix}

reláczió, melyben

\begin{matrix} (A B C X) = \frac{A C}{B C} : \frac{A X}{B X} \end{matrix}

1)

alatti egyenlet segélyével az első egyenes minden egyes pontja mellé egyértelműen rendeltük a második egyenes egy-egy pontját.
Két egyenes pontjainak végtelen sorozatait, melyeknek egyedei ily módon rendelvék egymás mellé, projektivikusoknak nevezzük.

2)

Legyen adva két pont

P_{1}

és

P_{2}

és húzzunk az elsőn keresztül három egyenest

a_{1}

-et,

b_{1}

-et és

c_{1}

-et, a másodikon pedig három új egyenest

a_{2}

-et,

b_{2}

-et és

c_{2}

-t. Nevezzük az ugyanazon betűvel jelzett egyeneseket egymásnak megfelelőknek és válasszunk egy tetszésszerinti a

P_{1}

-en keresztülmenő egyenest

x_{1}

-et. A

P_{2}

ponton keresztülmenő és az

x_{1}

-nek megfelelő

x_{2}

egyenest szolgáltassa az

\begin{matrix} (a_{1} b_{1} c_{1} x_{1}) = (a_{2} b_{2} c_{2} x_{2}) \end{matrix}

reláczió, hol

\begin{matrix} (a b c x) = \frac{sin (a c)}{sin (b c)} : \frac{sin (a x)}{sin (b x)} \end{matrix}

2)

alatti egyenlet segélyével az első sugársor minden egyes sugarát egyértelműen rendeltük a második sugársor egy-egy sugara mellé.
Két ily sugársort szintén projektvikusnak fogunk nevezni.

3)

Ha végre

\begin{matrix} (A B C X) = (a b c x) \end{matrix}

az illető pont- és sugársort szintén projektivikusnak mondjuk.

I. Tantétel. Ha két projektivikus pontsor pontjai közül az

A_{1}, B_{1}, ..., X_{1}

-et összekötjük valamely

P_{1},

és az

A_{2}, B_{2}, ..., X_{2}

-t valamely

P_{2}

ponttal a nyert sugársorok szintén projektivikusak, vagyis az

\begin{matrix} (A_{1} B_{1} C_{1} X_{1}) = (A_{2} B_{2} C_{2} X_{2}) \end{matrix}

reláczióból folyik az

\begin{matrix} (a_{1} b_{1} c_{1} x_{1}) = (a_{2} b_{2} c_{2} x_{2}) \end{matrix}

reláczió.
A

P_{1} A_{1} C_{1}, P_{1} B_{1} C_{1}, P_{1} A_{1} X_{1}

háromszögek tekintetbe vételéből következik, hogy

\begin{matrix} (A_{1} B_{1} C_{1} X_{1}) = (a_{1} b_{1} c_{1} x_{1}), \end{matrix}

mert mind a négy ugyanazon magasságú lévén, a területeikből képezhető k e t t ő s - v i s z o n y

\begin{matrix} \frac{t_{1}}{t_{2}} : \frac{t_{3}}{t_{4}} = \frac{A_{1} C_{1}}{B_{1} C_{1}} : \frac{A_{1} X_{1}}{B_{1} X_{1}} \end{matrix}

míg másrészt

\begin{matrix} (t_{1} t_{2} t_{3} t_{4}) = \frac{P_{1} A_{1} \cdot P_{1} C_{1} sin (a_{1} c_{1})}{P_{1} B_{1} \cdot P_{1} C_{1} sin (b_{1} c_{1})} : \frac{P_{1} A_{1} \cdot P_{1} X_{1} sin (a_{1} x_{1})}{P_{1} B_{1} \cdot P_{1} X_{1} sin (b_{1} x_{1})} - (a_{1} b_{1} c_{1} x_{1}) . \end{matrix}

Hasonlóképpen bizonyítható, hogy

\begin{matrix} (A_{2} B_{2} C_{2} X_{2}) = (a_{2} b_{2} c_{2} x_{2}) \end{matrix}

és így első tantételünk igazolva van.
Ha az

a_{1}

és

a_{2}

metszéspontját

A

-val s. í. t. jeleljük, az

A, B, ...

pontok általánosságban nem feküsznek egy egyenesben és a

P_{1} P_{2} = p_{1}

egyenesnek nem felel meg a második sugársor

P_{2} P_{1} = q_{2}

egyenese.

II. Tantétel. Ha

A, B, ...

stb. egy

e

egyenesben feküsznek a

P_{1} P_{2} = p_{1}

sugárnak a

P_{2} P_{1} = p_{2}

sugár felel meg és megfordítva, ha

P_{1} P_{2}

-nek

P_{2} P_{1}

felel meg, az

A, B, ...

stb pontok egy egyenesben feküsznek. Két ilyen sugársort perspektivikus helyzetűnek mondunk.
Legyen a

p_{1}

és az

e

metszéspontja

P

; ekkor

\begin{matrix} (P A B X) = (p_{1} a_{1} b_{1} x_{1}) \end{matrix}

és csak akkor lehet

\begin{matrix} (p_{2} a_{2} b_{2} x_{2}) = (p_{1} a_{1} b_{1} x_{1}) \end{matrix}

p_{2}

P

-n megy keresztül, vagyis, ha

\begin{matrix} p_{1} \equiv p_{2} \end{matrix}

Megfordítva, ha

p_{1} \equiv p_{2}

, akkor

\begin{matrix} (p_{1} a_{1} b_{1} x_{1}) = (p_{2} a_{2} b_{2} x_{2}) \end{matrix}

reláczió csak úgy állhat fenn, ha

X

P A B

egyenesbe esik. Mert ha az

x_{1}

és

x_{2}

egyenesek az

e

-t

X_{1}

és

X_{2}

pontokban metszenék, a

(p_{1} a_{1} b_{1} x_{1}) = (p_{2} a_{2} b_{2} x_{2})

-ből, a

\begin{matrix} (P A B X_{1}) = (P A B X_{2}) \end{matrix}

reláczió következnék, mely csak akkor állhat fenn, ha

X_{1} = X_{2} = X .

III. Tantétel. Ha egy kör két pontját,

P_{1}

-et és

P_{2}

-t, rendre összekötjük többi pontjaival

A, B, ..., X

-szel, két projektivikus pontsort nyerünk.
A projektivitást jellemző egyenlet

\begin{matrix} (a_{1} b_{1} c_{1} x_{1}) = (a_{2} b_{2} c_{2} x_{2}) \end{matrix}

helyessége ekkor az

\begin{matrix} (y_{1} z_{1}) és (y_{2} z_{2}) \end{matrix}

szögeknek, mint ugyanazon

Y Z

ív felett álló kerületi szögeknek egyenlőségéből következik.

Feladat. Legyen adva két sugársor, melynek csúcspontjai

P_{1}

és

P_{2}

összeesnek a nélkül, hogy a két sugársor azonossá válnék. Keressük az

x_{1}

-nek megfelelő

x_{2}

-t.
E czélból rajzoljunk tetszésszerinti a

P_{1} = P_{2} = P

ponton keresztülmenő kört. Ennek metszéspontjait az

a_{1} b_{1},, ...

stb. sugarakkal nevezzük

A_{1} B_{1},, ...

stb.-nek, míg az

a_{2} b_{2},, ...

stb. sugarakkal

A_{2} B_{2},, ...

stb.-nek. Kössük össze az

A_{1}

pontot

A_{2}, B_{2}

és

C_{2}

pontokkal és az

A_{2}

-t

A_{1}, B_{1}

és

C_{1}

pontokkal. A nyert sugársorok legyenek

a', b', c', ...

stb., és

a'', b'', c'', ...

stb.
Ekkor a III. Tantétel alapján

\begin{matrix} (a_{1} b_{1} c_{1} x_{1}) = (2 a_{2} b_{2} c_{2} x_{2}) \end{matrix}

továbbá

\begin{matrix} (a' b' c' x') = (a_{2} b_{2} c_{2} x_{2}) \end{matrix}

és

\begin{matrix} (a'' b'' c'' x'') = (a_{1} b_{1} c_{1} x_{1}) \end{matrix}

s így tehát

\begin{matrix} (a' b' c' x') = (a'' b'' c'' x'') \end{matrix}

De minthogy

\begin{matrix} a' \equiv a'' \end{matrix}

a II. Tantétel alapján az

a', b', c', ...

stb. és

a'', b'', c'', ...,

stb. sugársorok perspektivikus helyzetűek, azaz

a' a'' = A, b' b'' = B

stb. pontok egy egyenesbe az

e

tengelybe esnek. Ennek segélyével a tetszésszerint

P X_{1} = x_{1}

sugárhoz a megfelelő

x_{2}

-t a következő módon találhatjuk meg:
Összekötjük

A_{2} - t

X_{1}

-gyel; az így nyert

x''

és az

e

metszéspontjának

X

-nek és

A_{1}

-nek összekötő egyenese a kört

X_{2}

-ben metszi. A

P X_{2} = x_{2}

a keresett sugár.
Ha az

e

tengely a kört metszi, az adott sugársorokban két-két sugár van, mely a megfelelőjével összeesik; ezek a

P

-ből a metszéspontokon keresztül húzott sugarak, melyeket még a két sugársor kettős sugarainak is nevezünk.

II.

Az adott feladatot két részre bontjuk. Először módot keresünk mindazon egyenesek feltalálására, melyek az adott háromszöget az

m : n

viszony szerint osztják, másodszor pedig ezek közül kiválasztani igyekezünk mindazokat, melyek a

P

ponton mennek keresztül. Rögtön szembetűnik, hogy az első feltételnek megfelelő egyenesek három csoportra oszlanak a szerint, a mint az

A, B

vagy

C

szög szárain metszik le a háromszöget, melynek területe

t

A B C

háromszög területéhez

T

-hez az

m : (m + n)

viszony szerint aránylik. Elegendő lesz egyelőre egy csoportot figyelemmel kísérni.
Jeleljék

B_{1}, B_{2}, B_{3}, ...

stb.

C_{1}, C_{2}, C_{3}, ...

stb. az első feltételnek megfelelő egyenesek metszéspontjait a

C A

és

A B

egyenesekkel. Ekkor

\begin{matrix} C_{k} A B_{k} : C A B = m : (m + n) \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} C_{k} A B_{k} = \frac{T m}{m + n} = k . \end{matrix}

Tehát

\begin{matrix} A B_{1} \cdot A C_{1} = A B_{2} \cdot A C_{2} = ... = \frac{k}{sin A} = K \end{matrix}

Továbbá az

\begin{matrix} A B_{1} = \frac{K}{A C_{1}}, A B_{3} = \frac{K}{A C_{3}} \end{matrix}

egyenlőségekből

\begin{matrix} A B_{3} - A B_{1} = \frac{K (A C_{3} - A C_{1})}{A C_{1} \cdot A C_{3}} \end{matrix}

\begin{matrix} B_{1} B_{3} = \frac{K \cdot C_{1} C_{3}}{A C_{1} \cdot A C_{3}} \end{matrix}

\begin{matrix} B_{2} B_{3} = \frac{K \cdot C_{2} C_{3}}{A C_{2} \cdot A C_{3}} \end{matrix}

\begin{matrix} B_{1} B_{k} = \frac{K \cdot C_{1} C_{k}}{A C_{1} \cdot A C_{k}} \end{matrix}

\begin{matrix} B_{2} B_{k} = \frac{K \cdot C_{2} C_{k}}{A C_{2} \cdot A C_{k}} \end{matrix}

s így

\begin{matrix} \frac{B_{1} B_{3}}{B_{2} B_{3}} : \frac{B_{1} B_{k}}{B_{2} B_{k}} = \frac{K \cdot C_{1} C_{3}}{A C_{1} \cdot A C_{3}} \cdot \frac{A C_{2} \cdot A C_{3}}{K \cdot C_{2} C_{3}} : \frac{K \cdot C_{1} C_{k}}{A C_{1} \cdot A C_{k}} \cdot \frac{A C_{2} \cdot A C_{k}}{K \cdot C_{2} C_{k}} = \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{C_{1} C_{3}}{C_{2} C_{3}} : \frac{C_{1} C_{k}}{C_{2} C_{k}} \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} (B_{1} B_{2} B_{3} B_{k}) = (C_{1} C_{2} C_{3} C_{k}) \end{matrix}

miáltal kitűnik, hogy a

B_{k}

és

C_{k}

pontsorok projektivikusak.
Ha a

P

pontot rendre összekötöm a

B_{k}

és

C_{k}

pontokkal két, közös csúcspontú projektivikus sugársort kapok, melyeknek egy-egy összetartozó párja

b_{k}

és

c_{k}

C A

illetőleg

A B

egyenest

B_{k}

és

C_{k}

pontokban metszi. Ezen sugársorok kettős sugarai az

A B

és

C A

egyeneseket egymásnak megfelelő pontokban vágják, tehát a feladat első részében jellemzett egyenesek közé tartoznak, másrészt mint a sugársorok elemei a

P

ponton is keresztül mennek, tehát a feladat követelményeit kielégítő egyenesek.
Most tehát már csak az van hátra, hogy a

B_{k}

és

C_{k}

sorozatokból három megfelelő pontpárt találjunk.
Jelelje

D_{b}

A C

egyenes azon pontját, mely kielégíti az

\begin{matrix} A D_{b} : D_{b} C = m \end{matrix}

relácziót; rajzoljunk továbbá az

A C

oldal mint átmérő felett félkört és emeljünk az

A D

-re

D_{b}

-ben merőlegest, míg az a félkört

B_{1}^{*}

pontban metszi és vigyük az

A C

-re

A

ponttól a

C

irányában

A B_{1} = A B_{1}^{*}

távolságot.

B_{1}

-ből párhuzamosat húzva

B C

-vel, e párhuzamos és az

A B

metszéspontja legyen

D_{1}

. Ekkor

B_{1}

és

C_{1}

egy-egy a

B_{k}

és

C_{k}

sorozatokba tartozó pont.
Ugyanis egyrészt

\begin{matrix} A B_{1} + \sqrt[]{A D_{b} A C} = \sqrt[]{m (m + n)} \end{matrix}

másrészt

\begin{matrix} A B_{1} C_{1} Δ : A B C Δ = A B^{2} : A C^{2} \end{matrix}

\begin{matrix} = A D_{b} A C \end{matrix}

\begin{matrix} = A D_{b} : A C = m \end{matrix}

amivel azután állításunk igazolva van.
Megfelelő pontok továbbá

B_{2} = A

és

C_{2} = V_{c}

, hol

V_{c}

A B

egyenesnek végtelen távol lévő pontját jelenti. Hasonlóképpen

B_{3} = V_{b}

és

C_{3} = A

, mert az

\begin{matrix} A B_{k} A C_{k} = K \end{matrix}

reláczióból következik, hogy ha

A B_{k} = 0

, akkor

A C_{k} = \infty

és megfordítva. A projektivikus sugársorok három-három egymásnak megfelelő egyenesei tehát

\begin{matrix} P B_{1} és P C_{1} \end{matrix}

\begin{matrix} P A és P V_{c} ∥ A B, \end{matrix}

\begin{matrix} P V_{b} ∥ A C és P A . \end{matrix}

Minden szögön tehát legfeljebb két módon lehet levágni oly háromszöget, mely az adottal

m