Kezdőlap


Feladat:	81. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Meitner Elemér
Füzet:	1895/január, 70 - 71. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kör (és részhalmaza), mint mértani hely, Parabola, mint mértani hely, Kör geometriája, Szögfelező egyenes, Beírt kör középpontja, Magasságvonal, Magasságpont, Középponti és kerületi szögek, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1894/szeptember: 81. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $M$ pontokban létrejövő szögek mind egyenlők lévén egymással, legyen közös értékük $γ$ . Ekkor a változó $α$ és $β$ szögeket felező egyenesek által képezett szög $π - (\frac{α}{2} + \frac{β}{2})$ is állandó, mert $α + β = π - γ$ szintén állandó. Ezen $γ'$ szög értéke $\frac{π}{2} - \frac{γ}{2} .$ A szögfelező egyenesek metszéspontjának mértani helye körív, mely az $A$ és $B$ pontokon megy keresztül.
Az eredeti körszelet oly kör része, melynek sugara

\begin{matrix} r = \frac{A B}{2 sin γ} \end{matrix}

Az új körív pedig az

\begin{matrix} r' = \frac{A B}{2 sin (\frac{π}{2} + \frac{γ}{2})} = \frac{A B}{2 cos \frac{γ}{2}} \end{matrix}

sugarú körhöz tartozik. Minthogy pedig

\begin{matrix} r = \frac{A B}{4 sin \frac{γ}{2} cos \frac{γ}{2}} \end{matrix}

azért

\begin{matrix} r' = 2 r sin \frac{γ}{2} \end{matrix}

Az új körívhez tartozó kör középpontja az eredeti körív kiegészítő körívének felezési pontja.
A középvonalak metszéspontjának mértani helyét megkapjuk, ha az

A B

felezési pontját

N

-et az

M

-mel összekötjük és ezen az

\begin{matrix} N G \end{matrix}

arányt kielégítő

G

pontot megrajzoljuk. Minthogy

N G = \frac{1}{3} N M

G

pontok mértani helye egy az

A M B

körívhez hasonló és azzal hasonló fekvésű körív, az

N

-re, mint hasonlósági pontra vonatkoztatva.
Végre az

A M B

háromszög

A

és

B

pontjaiból a

B M

és

A M

oldalakra húzott merőlegesek oly

H

pontokban metszik egymást, melyekben az

A H B

szög mindig

α + β

-val egyenlő. A

H

pontok helye tehát szintén az

A

és

B

pontokon keresztül menő körív, mely oly körhöz tartozik, melynek sugara

\begin{matrix} r'' = \frac{A B}{2 sin (α + β)} = \frac{A B}{2 sin γ} = r . \end{matrix}

Ez utóbbi kör középpontja az adott körívhez tartozó kör középpontjával szimmetrikus helyzetű az

A B

-re, mint szimmetria-tengelyre nézve.
Megjegyzendő, hogy mind a három mértani hely az adott körívvel együtt az

A B

-nek ugyanazon oldalán fekszik.

(Meitner Elemér, V. ker. főreálisk. VIII. B. o. t., Budapest)