Kezdőlap


Feladat:	79. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Grossmann Gusztáv , Heymann Tivadar , Meitner Elemér , Prónai Győző , Weisz Lipót
Füzet:	1894/december, 49 - 50. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Negyedfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1894/szeptember: 79. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Oldassék meg a következő egyenletrendszer:

\begin{matrix} \frac{x + y}{1 - x y} = 1 \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{(1 - x^{2}) (1 - y^{2}) + 4 x y}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} = \frac{1}{2} \end{matrix}

A 2) alatti egyenlet még a következő alakban írható:

\begin{matrix} \frac{(1 + x - y - x y) (1 - x + y - x y) + 4 x y}{1 + x^{2} + y^{2} + x^{2} y^{2}} = \frac{1}{2} \end{matrix}

s ennek számlálójába az 1)-ből

1 - x y

értéke behelyettesíthető, mi által a következő alakot nyeri:

\begin{matrix} 16 x y = 1 + x^{2} + y^{2} + x^{2} y^{2} \end{matrix}

Ha most ebbe

x^{2} + y^{2}

értékét belehelyettesítjük az 1)-ből, a következő egyenletet kapjuk:

\begin{matrix} x^{2} y^{2} - 10 x y + 1 = 0. \end{matrix}

Ebből

\begin{matrix} x_{1} y_{1} = 5 + 2 \sqrt[]{6}, x_{2} y_{2} = 5 - 2 \sqrt[]{6} \end{matrix}

és ezen értékeket az 1)-be helyettesítve

\begin{matrix} x_{1} + y_{1} = - 4 - 2 \sqrt[]{6}, x_{2} + y_{2} = - 4 + 2 \sqrt[]{6}, \end{matrix}

Az 5) és 6) alatti egyenletekből következik, hogy

x_{1}

és

y_{1}

, illetőleg

x_{2}

és

y_{2}

a következő másodfokú egyenletek gyökei

\begin{matrix} z^{2} + (4 - 2 \sqrt[]{6}) z + (5 + \sqrt[]{6}) = 0 \end{matrix}

\begin{matrix} u^{2} + (4 - 2 \sqrt[]{6}) u + (5 - \sqrt[]{6}) = 0 \end{matrix}

melyekből

\begin{matrix} x_{1} = - 2 - \sqrt[]{6} + \sqrt[]{5 + 2 \sqrt[]{6}} \end{matrix}

\begin{matrix} y_{1} = - 2 - \sqrt[]{6} - \sqrt[]{5 + 2 \sqrt[]{6}} \end{matrix}

\begin{matrix} x_{2} = - 2 + \sqrt[]{6} + \sqrt[]{5 - 2 \sqrt[]{6}} \end{matrix}

\begin{matrix} y_{2} = - 2 + \sqrt[]{6} - \sqrt[]{5 - 2 \sqrt[]{6}} \end{matrix}

J e g y z e t.

\sqrt[]{5 + 2 \sqrt[]{6}} = \sqrt[]{3} + \sqrt[]{2}

és

\sqrt[]{5 - 2 \sqrt[]{6}} = \sqrt[]{3} - \sqrt[]{2},

mint arról négyzetre-emelés által közvetlenül meggyőződhetünk. Így tehát

z

és

u

értékei még a következő alakban is írhatók:

\begin{matrix} z = \pm (\sqrt[]{2} + \sqrt[]{3}) (1 \mp \sqrt[]{2}), \end{matrix}

és

\begin{matrix} u = \pm (\sqrt[]{2} - \sqrt[]{3}) (1 \mp \sqrt[]{2}) . \end{matrix}

Szerk.

Prónai Győző, főgymn. VIII.o. tanuló, Beszterczebánya.)

A feladatot még megoldották: Grossmann Gusztáv, ág.ev. főgymn. VIII. o. t., Budapest; Heymann Tivadar, főreálisk. VIII. o. t., Győr; Meitner Elemér, V. ker. főreálisk. VIII. B.o.t.Budapest; Weisz Lipót, főreálisk. VI. o. t. Pécs.