Kezdőlap


Feladat:	78. matematika feladat	Korcsoport: -	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Makkai László
Füzet:	1894/november, 38 - 39. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Komplex számok trigonometrikus alakja, Logaritmusos függvények, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1894/szeptember: 78. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Minthogy

\begin{matrix} {(\frac{7}{2})}^{2} + {(- \frac{7}{3})}^{3} = - \frac{49}{108} < 0 \end{matrix}

az egyenlet mindhárom gyöke valós és egyenlő a következő értékekkel:

\begin{matrix} x_{1} = 2 \sqrt[3]{r} sin \frac{α}{3} \end{matrix}

\begin{matrix} x_{2} = 2 \sqrt[3]{r} sin (\frac{α}{3} + 120^{\circ}) \end{matrix}

\begin{matrix} - x_{3} = 2 \sqrt[3]{r} sin (\frac{α}{3} + 60^{\circ}) \end{matrix}

hol

\begin{matrix} \sqrt[3]{r} = \sqrt[]{\frac{7}{3}}, sin α = \frac{\frac{7}{2}}{\frac{7}{3} \sqrt[]{\frac{7}{3}}} = \frac{3}{2 \sqrt[]{\frac{7}{3}}} \end{matrix}

\begin{matrix} 2 \sqrt[3]{r} = \sqrt[]{\frac{28}{3}} = k . \end{matrix}

A számítás menete tehát a következő:

\begin{matrix} log 28 = 1,44716 & 0,47712 \\ \underset{̲}{log 3 = 0,47712} & 0,48502 \\ 0,97004 & log \bar{sin α = 9,99210 - 10} \\ \underset{̲}{209} \\ log k = 0,48502 & 100 : 5 \\ 9,64749 - 10 & α = 79^{\circ} 6' 20'' \\ log sin \frac{α}{3} = \frac{3}{9,64752 - 10} & \frac{α}{3} = 26^{\circ} 22' 7'' \\ 9,74322 - 10 \\ log sin (\frac{α}{3} + 120^{\circ}) = & 17 \\ \bar{9,74322 - 10} \\ log sin (\frac{α}{3} + 60^{\circ}) = 9,99913 - 10 \\ log x_{1} = 0,48502 + & log (- x_{3}) = 0,48502 + \\ \underset{̲}{+ 9,64752 - 10} & \underset{̲}{+ 9,99913 - 10} \\ 0,13254 & 0,48415 \\ \underset{̲}{226} & 1,356 & \underset{̲}{401} & 3,048 \\ 28 & 9 & 14 & 9 \\ \bar{x_{1} = 1,3569} & \bar{- x_{3} = 3,0489} \\ x_{3} = - 3,6489 \\ log x_{2} = 0,48502 + \\ \underset{̲}{+ 9,74349 - 10} & x_{1} = 1,3569 \\ 0,22841 & x_{2} = 1,6920 \\ \underset{̲}{840} & 1,692 & x_{3} = 3,0489 \\ 1 & 0 & \bar{x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0} \\ \bar{x_{2} = 1,6920} \end{matrix}

Makkai László, főgymn. VIII. o. t. Nagy-Enyed).