Feladat:	77. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bolemann Béla ,  Grossmann Gusztáv ,  Heymann Tivadar ,  Rothschild József ,  Visnya Aladár
Füzet:	1894/november, 38. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Exponenciális egyenletrendszerek, Logaritmusos függvények, Logaritmusos egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1894/szeptember: 77. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. $\begin{array}{c}{\displaystyle x^y=y^x\mathrm{,}}\end{array}$ 1) $\begin{array}{c}{\displaystyle {100}^x={500}^y\mathrm{.}}\end{array}$ 2) Ha az egyenletek mindkét oldalán álló mennyiségek logarithmusát képezzük, a következő egyenletrendszert nyerjük: 3) 4) Ezen egyenletek bal, illetőleg jobb oldalait egymással szorozva, a következő egyenlet létesül: $\begin{array}{c}{\displaystyle 2\text{log}x=\left(2+\text{log}5\right)\text{log}y}\end{array}$ 5) A 4) alatti egyenlet tagjainak logarithmusát képezve, nyerem a következő egyenletet: $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{log}x=\text{log}y+\text{log}\frac{1}{2}\left(2+\text{log}5\right)}\end{array}$ 6) Ha most 5) és 6)-ból kiküszöbölöm $\text{log}x$-et, $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{log}y=\frac{2\text{log}z}{\text{log}5}}\end{array}$ 7) hol $\begin{array}{c}{\displaystyle z=1+\frac{1}{2}\text{log}5}\end{array}$ és így 6)-ból $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{log}x=\text{log}y+\text{log}z}\end{array}$ 8) A számítás további menete már most a következő: ${\displaystyle \begin{array}{ccccc}\hfill {\displaystyle \text{log}5=\mathrm{0,69897}}& {\displaystyle }\hfill & {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle \mathrm{0,260340}:\underline{\mathrm{0,69897}}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \underline{\frac{1}{2}\text{log}5=\mathrm{0,34949}}}& {\displaystyle }\hfill & {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle 50649\mathrm{0,37246}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle z=\mathrm{1,34949}}& {\displaystyle }\hfill & {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle 1721}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{log}z=\mathrm{0,13001}}& {\displaystyle }\hfill & {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle 323}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \mathrm{13,2}}& {\displaystyle }\hfill & {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle 44}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \mathrm{2,97}}& {\displaystyle }\hfill & {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle 3}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \overline{\text{log}z=\mathrm{0,13017}}}\\ \hfill {\displaystyle 2\text{log}z=\mathrm{0,26034}}& {\displaystyle }\hfill & {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle \text{log}y=\mathrm{0,37246}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \mathrm{0,37246}}& {\displaystyle }\hfill & {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle \underline{36}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \mathrm{0,13017}}& {\displaystyle }\hfill & {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle 10}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \overline{\text{log}x=\mathrm{0,50263}}}& {\displaystyle }\hfill & {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle \overline{y=\mathrm{2,3575}}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \underline{256}}& {\displaystyle }\hfill & {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle x=\mathrm{3,1815}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 7}\end{array}}$ (Visnya Aladár, főreálisk, VIII. o. t. Pécs.) A feladatot még megoldotta: Bolemann Béla, ev főgymn. VIII. o. t. Budapest; Grossmann Gusztáv, ev. főgymn. VIII. o. t. Budapest; Heymann Tivadar és Rothschild József, főreálisk. VIII. o. t. Győr.