Kezdőlap


Feladat:	76. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Visnya Aladár
Füzet:	1895/június, 147 - 148. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Térfogat, Szabályos tetraéder, Derékszögű háromszögek geometriája, Koszinusztétel alkalmazása, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1894/június: 76. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $A M = x, A N = y .$ Az $M A B, B A N$ és $M A N$ háromszögekből, melyekben $A = 60^{\circ}$ , következik, hogy:

\begin{matrix} B M^{2} = x^{2} + a^{2} - a x \end{matrix}

\begin{matrix} B N^{2} = y^{2} + a^{2} - a y \end{matrix}

\begin{matrix} M N^{2} = x^{2} + y^{2} - x y \end{matrix}

Minthogy az

M B N

derékszög és

M N = l

lesz az

M B N

háromszögből

\begin{matrix} B M^{2} + B N^{2} = M N^{2} \end{matrix}

vagy továbbá

\begin{matrix} x^{2} + a^{2} - a x + y^{2} + a^{2} - a y = x^{2} + y^{2} - x y = l^{2} \end{matrix}

Az első egyenletből

\begin{matrix} x y = a (x + y) - 2 a^{2} \end{matrix}

(1)

ebből és a másodikból

\begin{matrix} {(x + y)}^{2} - 3 a (x + y) + 6 a^{2} - l^{2} = 0 \end{matrix}

(2)

Ez utóbbiból

(x + y)

kiszámítható; legyenek értékei

α

és

β

; ekkor

\begin{matrix} x y = a α - 2 a^{2}, x + y = α \end{matrix}

\begin{matrix} x y = a β - 2 a^{2}, x + y = β \end{matrix}

vagyis

x

és

y

a következő egyenletek gyökei:

\begin{matrix} z^{2} - α z + a (α - 2 a) = 0 \end{matrix}

(3)

\begin{matrix} z^{2} - β z + a (β - 2 a) = 0 \end{matrix}

(4)

2)

alatti egyenlet gyökei valósak, ha

\begin{matrix} 9 a^{2} - 4 (6 a^{2} - l^{2}) ≧ 0 \end{matrix}

azaz, ha

\begin{matrix} l ≧ \frac{a \sqrt[]{15}}{2} \end{matrix}

3)

és

4)

alatti egenletek gyökei a fentebbi feltétel mellett mindig valósak, mert

\begin{matrix} α^{2} - 4 a (α - 2 a) = {(α - 2 a)}^{2} + 4 a^{2} \end{matrix}

és

\begin{matrix} β^{2} - 4 a (β - 2 a) = {(β - 2 a)}^{2} + 4 a^{2} \end{matrix}

mint négynzetek összegei mindig valósak.

l = 2 a

, akkor a

2)

alatti egyenlet a következő alakot ölti:

\begin{matrix} {(x + y)}^{2} - 3 a (x + y) + 2 a^{2} = 0 \end{matrix}

és

α

és

β

értékei

\begin{matrix} \frac{3 \pm \sqrt[]{9 a^{2} - 8 a^{2}}}{2} \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} α = 2 a \end{matrix}

\begin{matrix} β = a \end{matrix}

miből a

3)

és

4)

a következő lesz:

\begin{matrix} z^{2} - 2 a z = 0 honnan x és y = 0 és 2 a \end{matrix}

\begin{matrix} z^{2} - a z + a^{2} = 0 honnan x és y = \frac{a}{2} (1 \pm \sqrt[]{5}) \end{matrix}

Az első esetben a keresett

M B N

sík vagy az

A B C

vagy az

A B D

síkjába esik.
A másodikban a nyert

A B M N

tetraeder térfogata

V'

úgy aránylik az adott

A B C D

tetraéder térfogatához

V

-hez, mint

A M N

A B D

-hez, mert magasságuk közös; tehát

\begin{matrix} V' : V = - x y : a^{2} = a^{2} : a^{2} = 1 \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} V = V' = \frac{a^{3} \sqrt[]{2}}{12} \end{matrix}

(Visnya Aladár, fr. VII. o. t. Pécs.)