Kezdőlap


Feladat:	74. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1894/október, 17 - 18. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Paraméteres egyenletrendszerek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1894/június: 74. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

\begin{matrix} x + y - z = 2 a \end{matrix}

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} = z^{2} \end{matrix}

\begin{matrix} m (x + y) = x y \end{matrix}

Mily feltételek mellett lesznek az egyenletrendszer gyökei pozitívek?

Az 1) és 3)-ból a következő új egyenletek folynak

\begin{matrix} x + y = 2 a + z \end{matrix}

\begin{matrix} x y = m (2 a + z) \end{matrix}

vagyis az

x

és

y

a következő másodfokú egyenlet gyökei

\begin{matrix} u^{2} - (2 a + z) u + m (2 a + z) = 0 \end{matrix}

melyből

\begin{matrix} u = \frac{1}{2} (2 a + z \pm \sqrt[]{{(2 a + z)}^{2} - 4 m (2 a + z)}) \end{matrix}

de a 2) egyenlet még a következőképpen is írható

\begin{matrix} {(x + y)}^{2} - 2 x y - z^{2} = 0 \end{matrix}

\begin{matrix} {(2 a + z)}^{2} - 2 m (2 a + z) - z^{2} = 0 \end{matrix}

\begin{matrix} (4 a - 2 m) z + 4 a^{2} - 4 m a = 0 \end{matrix}

\begin{matrix} z = \frac{2 a (m - a)}{2 a - m} \end{matrix}

Ezen értékét

z

-nek az

u

kifejezésébe helyettesítve, az a következő alakot nyeri

\begin{matrix} u = \frac{1}{2} (\frac{2 a^{2}}{2 a - m} \pm \sqrt[]{\frac{2 a^{2}}{2 a - m} (\frac{2 a^{2}}{2 a - m} - 4 m)}) \end{matrix}

\begin{matrix} u = \frac{a^{2} \pm 2 a^{2} \sqrt[]{a^{2} - 4 a m + 2 m^{2}}}{2 a - m} \end{matrix}

Hogy

u

valós legyen, kell, hogy:

\begin{matrix} 2 m^{2} - 4 a m + a^{2} \geq 0 \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} 2 {(\frac{m}{a})}^{2} - 4 (\frac{m}{a}) + 1 \geq 0 \end{matrix}

\begin{matrix} 2 (\frac{m}{a} - \frac{1}{2} (2 + \sqrt[]{2})) (\frac{m}{a} - \frac{1}{2} (2 - \sqrt[]{2})) \geq 0 \end{matrix}

a mi akkor áll be, ha

\begin{matrix} \frac{m}{a} \leq \frac{1}{2} (2 - \sqrt[]{2}) vagy \frac{m}{a} \geq \frac{1}{2} (2 + \sqrt[]{2}) \end{matrix}

Hogy

u

mindkét értéke positív legyen, kell, hogy összegük és szorzatuk egyidőben positív legyen, vagyis a 6)-ból

\begin{matrix} 2 a + z > 0 és m (2 a + z) > 0 \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{2 a^{2}}{2 a - m} > 0 és \frac{2 a^{2} m}{2 a - m} > 0 \end{matrix}

mely feltételek akkor vannak kielégítve, ha

\begin{matrix} 2 a - m > 0, m > 0, a > 0 \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} 0 < m < 2 a . \end{matrix}

De minthogy ugyanakkor, hogy

z

is positív legyen, a 7)-ből

\begin{matrix} a < m < 2 a \end{matrix}

a 8) alatti egyenlőtlenségekből csak a második lehet kielégítve, vagyis a végleges feltétel:

\begin{matrix} \frac{a}{2} (2 + \sqrt[]{2}) \leq m \leq 2 a, a > 0. \end{matrix}