Kezdőlap


Feladat:	73. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Heymann Tivadar
Füzet:	1894/október, 24. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Szögfelező egyenes, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1894/június: 73. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jeleljük a szögfelező egyenes metszéspontjait az $A B$ és $A' B'$ egyenesekkel $D$ és $D'$ -tel, az $M M'$ egyenes metszéspontját az $O Y$ -nal $E$ -vel. Hogy bebizonyíthassuk, miszerint az $O D D'$ egyenes párhuzamos az $E M M'$ egyenessel, csak azt kell kimutatnunk, miszerint

\begin{matrix} B' D' : B' M' = B' O : B' E \end{matrix}

A' O B'

háromszögből következik, hogy

\begin{matrix} B' D' = \frac{2 B' M' \cdot B' O}{O A' + O B'} \end{matrix}

vagyis, hogy

\begin{matrix} B' F = \frac{O A' + O B'}{2} = \frac{B' M' \cdot B' O}{O A' + O B'} \end{matrix}

hol

F

M'

pontból

D' D

-vel párhuzamosan húzott egyenes metszéspontja az

O Y

-nal.
De minthogy

\begin{matrix} O A' = O A + A A' = O A + 1 \end{matrix}

\begin{matrix} O B' = O B + B B' = O B + 1 \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{O A' + O B'}{2} = 1 + \frac{O A + O B}{2} \end{matrix}

A O B

háromszögből következik, hogy

\begin{matrix} B D = \frac{2 B M \cdot B O}{O A + O B} \end{matrix}

vagyis, hogy

\begin{matrix} B G = \frac{O A + O B}{2} = \frac{B M \cdot B O}{B D} \end{matrix}

hol

G

M

pontból

D' D

-vel párhuzamosan húzott egyenes metszéspontja

O Y

-nal.
A 2), 3) és 4)-ből látjuk, miszerint

\begin{matrix} \frac{B M' \cdot B' O}{B' D'} = 1 + \frac{B M \cdot B O}{B D} \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} B' F - B G = 1 \end{matrix}

ami csak úgy lehetséges, ha

F

G

-vel összeesik.
De minthogy

F M' ∥ D D'

és

G M ∥ D D'

F M'

G M

-mel összeesik, vagyis az

F M'

M

-en és

G M

M'

-en megy keresztül. Végre tehát az

F

és

G

nem egyéb az

M M'

és

O Y

egyenesek metszéspontja

E

-nél.

(Heymann Tivadar, főreálisk. VIII. oszt. tanuló, Győr).