Feladat:	72. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Debreczeni áll. főreálisk. VIII. oszt. ,  Suták Sándor ,  Visnya Aladár
Füzet:	1894/szeptember, 4 - 5. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Irracionális egyenletrendszerek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1894/június: 72. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[]{x}+\sqrt[]{y}=z\mathrm{,}}\end{array}$ 1) $\begin{array}{c}{\displaystyle 2x+2y+p=\mathrm{0,}}\end{array}$ 2) $\begin{array}{c}{\displaystyle z^4+p{z}^2+q=0.}\end{array}$ 3) Ha az első egyenlet mindkét oldalát négyzetre emeljük, nyerjük a következőt: $\begin{array}{c}{\displaystyle x+2\sqrt[]{xy}+y=z^2}\end{array}$ 4) Ha továbbá ennek mindkét oldalát $2$-vel szorozzuk és belőlük a $\left(2\right)$ jobb illetőleg bal oldalát levonjuk, a következő egyenletre jutunk: $\begin{array}{c}{\displaystyle 4\sqrt[]{xy}=2z^2+p}\end{array}$ 5) vagy négyzetre emelve mindkét oldalon: $\begin{array}{c}{\displaystyle xy={\left(\frac{2z^2+p}{4}\right)}^2}\end{array}$ 6) míg a $\left(2\right)$-ből: $\begin{array}{c}{\displaystyle x+y=-\frac{p}{2}}\end{array}$ 7) A $\left(6\right)$ és $\left(7\right)$ alatti egyenletekből következik, hogy $x$ és $y$ a következő másodfokú egyenlet gyökei: $\begin{array}{c}{\displaystyle u^2+\frac{p}{2}u+{\left(\frac{2z^2+p}{4}\right)}^2=0}\end{array}$ 8) Ennek gyökei $u\text{'}$ és $u\text{'}\text{'}$ vagyis $x$ és $y$ a következők: $\begin{array}{c}{\displaystyle -\frac{p}{4}+\frac{1}{2}\sqrt[]{\frac{p^2}{4}-4{\left(\frac{2z^2+p}{4}\right)}^2}}\end{array}$ vagy $\begin{array}{c}{\displaystyle -\frac{p}{4}+\frac{1}{2}\sqrt[]{-2^4-z^{2}p}}\end{array}$ De ezen kifejezés a $\left(3\right)$ tekintetbe vételével a következő alakot ölti: $\begin{array}{c}{\displaystyle -\frac{p}{4}+\frac{1}{2}\sqrt[]{q}}\end{array}$ és ez $x$ és $y$-nak közös alakja, vagyis $\begin{array}{c}{\displaystyle x=-\frac{p}{4}+\frac{1}{2}\sqrt[]{q}}\end{array}$ 9) $\begin{array}{c}{\displaystyle y=-\frac{p}{4}-\frac{1}{2}\sqrt[]{q}}\end{array}$ 10) míg $z$ értéke a $\left(3\right)$-ból; $\begin{array}{c}{\displaystyle z=\sqrt[]{-\frac{p}{2}+\sqrt[]{\frac{p^2}{4}-q}}}\end{array}$ 11) Hogy $x\mathrm{,}y\mathrm{,}$ és $z$ egyidejűleg mind valósak legyenek, kell, hogy: $\begin{array}{c}{\displaystyle q\ge 0}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle p^2-4q\ge 0}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle -p+\sqrt[]{p^2-4q}\ge 0}\end{array}$ De minthogy $\sqrt[]{p^2-4q}\le p$ a legutolsó egyenlőtlenség csak úgy áll fönn, ha $p<0$ és a szükséges és elegendő föltételek a legegyszerűbb alakban: $\begin{array}{c}{\displaystyle p\le \mathrm{0,}q\ge 0\text{ és }{p}^2-4q\ge 0.}\end{array}$ (Suták Sándor, főgymn. VIII. oszt. tanuló, Nyíregyháza).