Kezdőlap


Feladat:	71. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Berzenczey Domokos , Jorga Gergely , Suták Sándor , Visnya Aladár , Weisz Lipót
Füzet:	1894/október, 23. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Terület, felszín, Téglalapok, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1894/június: 71. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az első paralellogramma alapja $x$ , magassága $y$ ; a második alpja $z$ és magassága $u$ . Akkor fennállanak a következő egyenletek:

\begin{matrix} x y + z u = S \end{matrix}

\begin{matrix} x + z = p \end{matrix}

\begin{matrix} z y = s \end{matrix}

\begin{matrix} x u = s' \end{matrix}

A 3) és 4)-ből következik, hogy

\begin{matrix} y = \frac{s}{z} \end{matrix}

\begin{matrix} u = \frac{s'}{x} \end{matrix}

Ezen értékeket az 1)-be helyettesítve lesz:

\begin{matrix} \frac{x s}{z} + \frac{z s'}{x} = S \end{matrix}

A 2) és 7)-ből kiküszöbölve

z

értékét, a következő egyenletet nyerjük:

\begin{matrix} \frac{x s}{p - x} + \frac{(p - x) s'}{x} = S \end{matrix}

és ha ezt rendezzük, a következőre jutunk:

\begin{matrix} (s + s' + S) x^{2} - (2 p s' + p S) x + p^{2} s' = 0 \end{matrix}

Ebből

\begin{matrix} x = \frac{p (2 s' + S) \pm \sqrt[]{p^{2} {(2 s' + S)}^{2} - 4 p^{2} s' (s + s' + S)}}{2 (s + s' + S)} \end{matrix}

\begin{matrix} x = \frac{p (2 s' + S) \pm p \sqrt[]{4 s'^{2} + 4 s' S + S^{2} - 4 s' s - 4 s'^{2} - 4 s' S}}{2 (s + s' + S)} \end{matrix}

\begin{matrix} x = \frac{p (2 s' + S \pm \sqrt[]{S^{2} - 4 s s')}}{2 (s + s' + S}) \end{matrix}

\begin{matrix} z = p - x = \frac{p (2 s + S \mp \sqrt[]{S^{2} - 4 s s'})}{2 (s + s' + S} \end{matrix}

II)

\begin{matrix} y = \frac{s}{z} = \frac{2 s + S \pm \sqrt[]{S^{2} - 4 s s'}}{2 p} \end{matrix}

III)

\begin{matrix} u = \frac{s'}{x} = \frac{2 s' + S \mp \sqrt[]{S^{2} - 4 s s'}}{2 p} \end{matrix}

IV)

(Berzenczey Domokos, főreálisk. VII. oszt. tanuló, Déva).

A feladatot még megoldották: Jorga Gergely, Gilád; Suták Sándor, Nyíregyháza; Visnya Aladár és Weisz Lipót, Pécs.