Feladat: 68. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Heymann Tivadar ,  Visnya Aladár ,  Weisz Lipót 
Füzet: 1894/szeptember, 8 - 9. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Négyszögek szerkesztése, Beírt alakzatok, Paralelogrammák, Háromszögek egybevágósága, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1894/június: 68. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Első megoldás.
 

Minthogy a parallelogramma egyik oldala a háromszög egyik oldalára esik, csak a vele párhuzamos oldalnak metszéspontjait kell meghatározni a háromszög másik 2 oldalával. Legyenek ezek például az AB és CA oldalakon N' és P. E pontokat az adott O ponttal összekötve, kapjuk a parallelogramma hátralévő két pontját N-et és P'-et. Ha most B-t összekötöm O-val, ezen utóbbi egyenes az N'P-t egy B' pontban metszi, melyre nézve a BOP' és B'OP háromszögek egybevágóságából következik, hogy éppoly messsze van O-tól, min O a B-től.
Maga a szerkesztés ennélfogva a következő: Összekötöm az O-t B-vel és a BO egyenesre O-tól BO irányban felviszem az OB'=BO távolságot. A B'-ből párhuzamosat húzok BC-vel. Ez az AB és CA egyeneseket az előbb említett N' és P pontokban metszi. A parallelogramma másik két pontját a fent leírt módon kapom meg.
A szerkesztést természetesen a C ponttal is eszközölhettem volna. Hasonlóképpen nyerjük még az NPN'P' parallelogrammán kívül a PMP'M' és MNM'N' parallelogrammákat is, melyek szintén a feladat megoldásait képezik.
(Weisz Lipót, főreálisk. VI. oszt. tanuló, Pécs).
A feladatot még megoldotta: Visnya Aladár.

 
Második megoldás.
 

Minthogy N'O=ON-nel, az O-ból az AB-hez párhuzamosan húzott egyenes a BC-t oly M'' pontban metszi, melyre nézve BM''=M''N.
Az N pontot tehát úgy nyerjük, hogy az O-ból meghúzzuk az OM'' egyenest és a BC-re az M'' pontból BM'' irányban felvisszük az M''N=BM'' hosszúságot. N-et összekötve O-val, a nyert egyenes AB-t N'-ben metszi. Az NP∥BC egyenes az NP'NP parallelogramma egyik oldala.
(Heymann Tivadar, főreálisk. VIII. oszt. tanuló, Győr).