Kezdőlap


Feladat:	63. matematika feladat	Korcsoport: -	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Jorga Gergely
Füzet:	1894/június, 57. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Gömbi geometria, Szöveges feladatok, Csillagászati, földrajzi feladatok, Trigonometrikus függvények, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1894/május: 63. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jeleljük a föld középpontját

C

-vel, az északi pólust

P

-vel, Budapestet és Rozsnyót

B

-vel és

R

-rel. Fektessünk

B

-n és

R

-en

C P B

és

C P R

délköröket és

C B R

-en egy legnagyobb gömbi kört keresztül. Akkor a keresett

B R

szférikus távolság a

B P R

gömbháromszögben a

B P = 90 - φ, R P = 90 - φ'

és

B P R = λ' - λ

szögből határozható meg a gömháromszögtan 2. főtétele alapján. Ekkor ugyanis

cos B R = sin φ sin φ' + cos φ cos φ' cos (λ - λ') .

továbbá

\begin{matrix} cos B R = sin φ (sin φ' + cos φ' cot φ cos (λ - λ')) . \end{matrix}

Tegyük fel, hogy

\begin{matrix} tan ω = cot φ cos (λ - λ') \end{matrix}

akkor

\begin{matrix} cos B R = \frac{sin φ (cos ω sin φ' + cos φ' sin ω)}{cos ω} \end{matrix}

\begin{matrix} cos B R = \frac{sin φ sin (ω + φ')}{cos ω} \end{matrix}

B R

-et az 1) és 2) egyenletek teljesen meghatározzák. Lesz

\begin{matrix} log tan ω = log cot φ + log cos (λ - λ') = \end{matrix}

\begin{matrix} = 9,96224 + 9,99985 = \end{matrix}

\begin{matrix} = 9,96209 \end{matrix}

\begin{matrix} ω = 42^{\circ} 30' 10'' \end{matrix}

\begin{matrix} ω + φ' = 83^{\circ} 9' 12'' \end{matrix}

\begin{matrix} log cos B R = log sin φ + log sin (ω + φ') - log cos ω = \end{matrix}

\begin{matrix} = 9,86754 + 9,99689 - 9,86761 = 9,99682 \end{matrix}

\begin{matrix} B R = 6^{\circ} 55' 30'' = \end{matrix}

= 103

geografiai mértföld.

II.

cos ω = tan φ tan δ

képlet segítségével meghatározhatjuk mindkét helyre nézve a leghosszabb nappalt.

\begin{matrix} 1) cos (180 - ω') = tan φ' tan δ \end{matrix}

\begin{matrix} 2) cos (180 - ω_{2}) = tan φ_{2} tan δ \end{matrix}

\begin{matrix} log cos (180 - ω') = log tan φ' + log tan δ \end{matrix}

\begin{matrix} = 0,03775 + 9,63758 \end{matrix}

\begin{matrix} = 9,67533 \end{matrix}

\begin{matrix} 180 - ω' = 61^{\circ} 44' 15'' \end{matrix}

\begin{matrix} ω' = 118^{\circ} 15' 45'' \end{matrix}

vagy időben kifejezve

\begin{matrix} ω' = 7^{\circ} 53' 3''; \end{matrix}

tehát a leghosszabb nappal tartama Budapesten

15^{\circ} 46' 6'';

\begin{matrix} log cos (180 - ω_{2}) = log tan φ_{2} + log tan δ = \end{matrix}

\begin{matrix} = 9,93381 + 9,63758 = \end{matrix}

\begin{matrix} = 9,57139 \end{matrix}

\begin{matrix} (180 - ω_{2}) = 68^{\circ} 6' 58'' \end{matrix}

\begin{matrix} ω_{2}) = 111^{\circ} 53' 02'', \end{matrix}

időben kifejezve

\begin{matrix} 7^{\circ} 27' 32''; \end{matrix}

tehát a leghosszabb nappal tartama Rozsnyón

14^{\circ} 55' 4''

s így a budapesti leghosszabb nappal a rozsnói leghosszabb nappalnál

51' 2''

-czel hosszabb.
(Jorga Gergely, főreálisk. VIII. oszt. tanuló, Arad).