Feladat:	62. matematika feladat	Korcsoport: -	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Schönner Odillo ,  Seidner Mihály ,  Sztrapkovits István
Füzet:	1894/június, 53. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Irracionális egyenletrendszerek, Algebrai átalakítások, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, A komplex szám algebrai alakja, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1894/május: 62. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[5]{x}+\sqrt[5]{y}=7}\end{array}$ 1) $\begin{array}{c}{\displaystyle x+y=3157}\end{array}$ 2) Helyettesítsük $x$ és $y$ helyébe $u^5$ és $v^5$-én. Az egyenletek ekkor a következő alakokat nyerik $\begin{array}{c}{\displaystyle u+v=7}\end{array}$ 3) $\begin{array}{c}{\displaystyle u^5+v^5=3157}\end{array}$ 4) Ha a 3)-at ötödik hatványra emeljük és belőle a 4)-et levonjuk, kapjuk a következő egyenleteket: $\begin{array}{c}{\displaystyle 5u^{4}v+10u^3{v}^2+10u^2{v}^3+5u{v}^4=13650}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle uv\left(u^3+2u^{2}v+2u{v}^2+v^3\right)=2730}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle uv\left(u+v\right)\left(u^2+uv+v^2\right)=2730}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle uv\left(u^2+uv+v^2\right)=390}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle uv\left[{\left(u+v\right)}^2-uv\right]=390}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle uv\left(49-uv\right)=390}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(uv\right)}^2-49\left(uv\right)+390=0}\end{array}$ Ebből $\begin{array}{c}{\displaystyle uv=\frac{49\pm \sqrt[]{{49}^2-4\cdot 390}}{2}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle uv=\frac{49\pm 29}{2}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle u_1{v}_1=39}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle u_2{v}_2=10}\end{array}$ Tehát $u$ és $v$ a következő másodfokú egyenletek gyökei $\begin{array}{c}{\displaystyle z^2-7z+39=0}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle z^2-7z+10=0}\end{array}$ Azaz $\begin{array}{c}{\displaystyle z=\frac{7\pm \sqrt[]{49-4\cdot 39}}{2}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle z\text{'}=\frac{7\pm \sqrt[]{49-4\cdot 10}}{2}}\end{array}$ Vagyis $\begin{array}{c}{\displaystyle u_1=\frac{1}{2}(7+\sqrt[]{-107}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle v_1=\frac{1}{2}(7-\sqrt[]{-107}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle u_2=5}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle v_2=2}\end{array}$ Tehát $\begin{array}{c}{\displaystyle x_1=\frac{1}{32}{\left(7+\sqrt[]{-107}\right)}^5}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle y_1=\frac{1}{32}{\left(7-\sqrt[]{-107}\right)}^5}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle x_2=3125}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle y_2=32}\end{array}$ Végül még $\begin{array}{c}{\displaystyle x_1=\mathrm{1578,5}-\mathrm{905,5}\sqrt[]{-107}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle y_1=\mathrm{1578,5}+\mathrm{905,5}\sqrt[]{-107}}\end{array}$ alakban írandók. Schönner Odilo és Seidner Mihály Losoncz; Sztrapkovits István, S.-A.-Ujhely.