Kezdőlap


Feladat:	61. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1894/október, 25 - 26. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Fizikai jellegű feladatok, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Rombuszok, Mozgási geometria, Trigonometrikus egyenletrendszerek, Trigonometriai azonosságok, Erők forgatónyomatéka, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1894/április: 61. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tegyük fel, hogy a $P$ erők hatása következtében az $A C$ távolság $A' C' < A C$ távolságra reducálódott, ugyanekkor a $B D$ távolság $B' D > B D$ távolsággá változott. A rhombus $A B$ oldaláról már most feltehetjük, hogy az az $A' B'$ helyzetbe az $E$ , azaz az $A B$ és $A' B'$ egyenesek metszéspontja körül forogva jutott.
Ezen feltevésünk a valóságtól annál kevésbé fog eltérni, minél kisebbnek választjuk az $A A' = C C'$ távolságot.
Legyen $A B = a, B A C ∠ = α, B' A' C' ∠ = α'$ . Az $E$ pont távolságait a $B D$ és $A C$ egyenesektől jeleljük $x$ -szel és $y$ -nal. Ekkor a következő relácziókat írhatjuk fel:

\begin{matrix} \frac{x}{cos α} + \frac{y}{sin α} = \frac{x}{cos α'} + \frac{y}{sin α'} = a \end{matrix}

mely egyenletekből

x

és

y

értékei a következők:

\begin{matrix} x = a \end{matrix}

\begin{matrix} y = a \end{matrix}

\begin{matrix} x = 2 a \end{matrix}

\begin{matrix} y = 2 a \end{matrix}

\begin{matrix} x = a \end{matrix}

\begin{matrix} y = a \end{matrix}

Ezen két utolsó érték annál pontosabban határozza meg az

E

forgáspont helyét, minél kevésbé külömbözik az

α

α'

-től; ha tehát

α = α'

vagyis

α - α' = 0

, akkor

x

és

y

azon pont helyét határozzák meg, mely körül az

A B

forgást végezve jut a legközelebbi, tőle végtelen kevéssé külömböző

A' B'

helyzetbe.
De ha

α = α', cos α = cos α' = cos \frac{1}{2} (α + α'), sin α = sin α' = sin \frac{1}{2} (α + α')

és

cos \frac{1}{2} (α - α') = 1;

s így

\begin{matrix} x = a \end{matrix}

\begin{matrix} y = a \end{matrix}

A B

-t ekkor emeltyűnek tekinthetjük, melynek karjai

A E

és

B E

, s melynek végpontjaira a

P

és

Q

erők hatnak az

A C

és

B D

egyenesek irányában. Hogy tehát a

P

és

Q

erők egymást egyensúlyban tartsák, kell, hogy a következő egyenlet álljon fenn:

\begin{matrix} P \end{matrix}

melyből a keresett

Q

-nek értéke

\begin{matrix} Q = P \cdot tg^{3} α . \end{matrix}