Kezdőlap


Feladat:	60. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Visnya Aladár
Füzet:	1895/június, 145 - 146. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Másodfokú függvények, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1894/április: 60. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Kerestessék az

\begin{matrix} y = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 4 x + 3} és y = \frac{x^{2} - 2 x + 1}{2 x^{2} + 2 x + 1} \end{matrix}

függvények maximuma és minimuma.

Első megoldás.

Írjuk az első egyenletet

x

-nek fogyó hatványai szerint rendezett alakjában:

\begin{matrix} (1 - y) x^{2} - 4 y x + (1 - 3 y) = 0 \end{matrix}

Ezen egyenlet gyökei akkor valósak, ha

\begin{matrix} y^{2} - 4 y - 1 ≧ 0 \end{matrix}

vagyis ha

\begin{matrix} [y - (2 + \sqrt[]{5})] [y - (2 - \sqrt[]{5})] ≧ 0 \end{matrix}

Ez akkor következik be, ha

\begin{matrix} y ≧ (2 + \sqrt[]{5}) ≧ (2 - \sqrt[]{5}) \end{matrix}

vagy ha

\begin{matrix} y ≦ (2 - \sqrt[]{5}) ≦ (2 + \sqrt[]{5}) \end{matrix}

y

megengedhető értékeinek sorozataiban

y' = 2 - \sqrt[]{5}

felső határ, azaz maximum és

y'' = 2 + \sqrt[]{5}

alsó határ, vagyis minimum

Második megoldás.

Legyen

x_{1}

és

x_{2}

x

-nek két értéke, melynél

y

ugyanazon értékekekt veszi fel; vagyis a második függvény esetére

\begin{matrix} \frac{x_{1}^{2} - 2 x_{1} + 1}{2 x_{1}^{2} + 2 x_{1} + 1} = \frac{x_{2}^{2} - 2 x_{2} - 1}{2 x_{2}^{2} + 2 x_{2} + 1} \end{matrix}

\begin{matrix} 2 x_{1}^{2} x_{2}^{2} + 2 x_{1}^{2} x_{2} + x_{1}^{2} - 4 x_{1} x_{2}^{2} - 4 x_{1} x_{2} - 2 x_{1} + 2 x_{2}^{2} + 2 x_{2} + 1 = \end{matrix}

\begin{matrix} = 2 x_{2}^{2} x_{1}^{2} + 2 x_{2}^{2} x_{1} + x_{2}^{2} - 4 x_{2} x_{1}^{2} - 4 x_{2} x_{1} - 2 x_{2} + 2 x_{1}^{2} + 2 x_{1} + 1; \end{matrix}

\begin{matrix} 2 x_{1} x_{2} (x_{1} - x_{2}) + (x_{1} + x_{2}) (x_{1} - x_{2}) - 2 (x_{1} - x_{2}) + 4 x_{1} x_{2} (x_{1} - x_{2}) - \end{matrix}

\begin{matrix} - 2 (x_{1} + x_{2}) (x_{1} - x_{2}) - 2 (x_{1} - x_{2}) = 0 \end{matrix}

\begin{matrix} 6 x_{1} x_{2} - (x_{1} + x_{2}) - 4 = 0 \end{matrix}

Ha most

\begin{matrix} x_{1} = x_{2} = x, \end{matrix}

akkor

\begin{matrix} 6 x^{2} - 2 x - 4 = 0 \end{matrix}

miből

\begin{matrix} x = {\begin{matrix} = 1 \\ = - \frac{2}{3} \end{matrix} \end{matrix}

y

-nak megfelelő értékei

\begin{matrix} y_{min} = 0 \end{matrix}

\begin{matrix} y_{max} = 5 \end{matrix}

(Visnya Aladár, fr. VII. o. t. Pécs.)