Kezdőlap


Feladat:	58. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kutlik Igor , Seidner Mihály
Füzet:	1894/június, 55. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Csonkakúp, Térfogat, Gömb és részei, Köréírt alakzatok, Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1894/április: 58. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jeleljük a gömb sugarát $R$ -rel. A burkoló csonka kúp alap-, és fedőköreinek sugarait $r$ és $r'$ -tel és végre $ζ$ -val azon kör sugarát, melynek mentében gömb és csonka kúp érintkeznek.
A feladat értelmében

\begin{matrix} \frac{2 \cdot 4 R^{3} π}{3} = \frac{2 R π}{3} (r^{2} + r r' + r'^{2}) \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} 4 R^{2} = r^{2} + r r' + r'^{2} \end{matrix}

Másrészt azonban a csonka kúp alkotójának hossza

l = r + r'

és így tehát

\begin{matrix} {(r + r')}^{2} = 4 R^{2} + {(r - r')}^{2} \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} R^{2} = r r' \end{matrix}

Ha az 1)-hez hozzáadom a 2)-t nyerem a következő egyenletet:

\begin{matrix} r + r' = R \sqrt[]{5} \end{matrix}

és ha az 1)-ből levonom a 2)-nek háromszorosát, a következőt:

\begin{matrix} r - r' = R \end{matrix}

A 3)- és 4)-ből következik, hogy:

\begin{matrix} r = \frac{R}{2} (\sqrt[]{5} + 1), \end{matrix}

\begin{matrix} r' = \frac{R}{2} (\sqrt[]{5} - 1) . \end{matrix}

Végre

\begin{matrix} (r - r') : (r + r') = (ζ - r') : r' \end{matrix}

és ebből

\begin{matrix} ζ = \frac{2 r r'}{r + r'} = \frac{2 R^{2}}{R \sqrt[]{5}}, \end{matrix}

\begin{matrix} ζ = \frac{2 R \sqrt[]{5}}{5} \end{matrix}

Kutlik Igor, Pozsony; Seidner Mihály, Losoncz.