Kezdőlap


Feladat:	55. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Jankovich György
Füzet:	1894/május, 47 - 48. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hossz, kerület, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Szabályos sokszögek geometriája, Trigonometriai azonosságok, Számtani közép, Mértani közép, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1894/március: 55. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $a, r$ és $a', r'$ mennyiségek között a következő összefüggések állanak fenn:

\begin{matrix} a = r cos \frac{π}{n} \end{matrix}

\begin{matrix} r^{2} - a^{2} = {(\frac{p}{2 n})}^{2} \end{matrix}

\begin{matrix} a' = r' cos \frac{π}{2 n} \end{matrix}

\begin{matrix} r'^{2} - a'^{2} = {(\frac{p}{4 n})}^{2} \end{matrix}

hol

p

n

- és

2 n

oldalú sokszögek kerületét jelenti.
A

2)

és

4)

egyenletek egybevetéséből folyik a következő

\begin{matrix} r'^{2} - a'^{2} = \frac{r^{2} - a^{2}}{4} \end{matrix}

Minthogy pedig

\begin{matrix} cos \frac{π}{n} = cos^{2} \frac{π}{2 n} - sin^{2} \frac{π}{2 n} = 2 cos^{2} \frac{π}{2 n} - 1 \end{matrix}

1)

és

3)

egyenletek egybevetéséből következik, hogy

\begin{matrix} a = p (2 \frac{a^{2}}{r^{2}} - 1) \end{matrix}

\begin{matrix} r'^{2} (a + r) - 2 r a'^{2} = 0 \end{matrix}

Ha az

5)

és

6)

alatti egyenletekből kiküszöböljük

r'^{2}

-et, kapjuk a következőt:

\begin{matrix} - (a + r) a'^{2} + 2 r a'^{2} = (r - a) \frac{{(a + r)}^{2}}{4} \end{matrix}

\begin{matrix} a'^{2} = \frac{{(a + r)}^{2}}{4} \end{matrix}

\begin{matrix} a' = \frac{(a + r)}{2} \end{matrix}

5)

alatti egyenletbe helyettesítve

a'

-nek most nyert értékét, lesz

\begin{matrix} r'^{2} = \frac{{(a + r)}^{2}}{4} - \frac{a^{2} - r^{2}}{4} \end{matrix}

\begin{matrix} r'^{2} = \frac{(a + r)}{2} \cdot r \end{matrix}

II.

\begin{matrix} r'^{2} = a' r \end{matrix}

\begin{matrix} r' = \sqrt[]{a' r} \end{matrix}

II.a)

I .

és

I I .

egyenletek megoldják a kitűzött feladatot, de az

a'

és

r'

tényleges kiszámítására czélszerűbb az

I .

és

I I . a .

egyenleteket használni.

(Jankovich György Losoncz.)