Feladat: 52. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1894/június, 54 - 55. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Terület, felszín, Sokszögek szerkesztése, Síkidomok átdarabolása, Szabályos sokszögek geometriája, Háromszögek egybevágósága, Mértani közép, Derékszögű háromszögek geometriája, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1894/március: 52. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen ABC az adott háromszög. (7. ábra)

 

7. ábra
 

Alakítsuk át e háromszöget egy másikká, mely az adottal egyenlő területű és melynek egyik szöge 60∘. Ezen czélból vonjunk a B pontból párhuzamosat az AC-vel és az A pontból egy egyenest, mely az AC-vel 60∘-nyi szöget alkot. Legyen D a két egyenes metszéspontja. Az ADC háromszög egyenlő területű az ABC háromszöggel, mert alapjaik és magasságaik ugyanakkorák.
Alakítsuk át a most nyert háromszöget egyenoldalúvá. Ezen czélból az AD oldalon egy H és az AC oldalon egy K pontot oly módon kell meghatároznunk, hogy 1∘.AH=AK=l,2∘. hogy AHK=ADC. De minthogy a két háromszögnek A pontban közös szögük van, következik, hogy:
l2=AC⋅AD1)

Hogy l-et megszerkeszthessük, vigyük rá AD hosszúságot AD'-ben AC-re, rajzoljunk AC mint átmérő fölött félkört és emeljünk AC-re a D' pontban merőlegest, mely e félkört E pontban metszi és húzzuk meg az AE húrt. Ezen húr mértani középarányosa lévén az AC és AD hosszaknak az 1) értelmében egyenlő l-lel. Ha tehát az A-ból mint középpontból AE sugárral kört írunk le, ez az AD és AC egyeneseket a keresett H és K pontokban fogja metszeni. (8. ábra)
 

8. ábra
 

Alakítsuk át a nyert egyenoldalú háromszöget vele egyenlő területű szabályos hatszöggé.
Rajzoljunk ezen czélból az AHK háromszög körül kört és húzzuk meg az OH és OK küllőket. Emeljünk továbbá az O pontból a HK-ra merőlegest, mely a HK-t J és a kört H' pontban metszi. J a HK egyenes felezési pontja. Az AHK háromszög 6, az OHJ háromszöggel egybevágó háromszög összegével egyenlő. Az OJH háromszöget most a következőképpen alakítom át egyenoldalú háromszöggé: Rajzolok az OH'=OH sugár fölött mint átmérő fölött félkört. Ezt az J pontban, az OH'-ra merőleges HK egyenes L pontban metszi, s így tehát
OL¯2=OJ⋅OH'=OJ⋅OH.

Ha most az OL sugárral az O pontból, mint középpontból kört írunk le ez az OJ és OH egyeneseket N és M pontokban metszi, melyekre nézve ON=OM és ON⋅OM=OJ⋅OH. Vagyis az ONM egyenlőszárú háromszög területe egyenlő az OJH háromszög területével. De az OMN háromszög egyenlőoldalú, mert a HOJ szög 60∘-nyi. Az OL sugárral rajzolt körbe írt szabályos hatszög területe egyenlő tehát az AHK=ADC=ABC háromszög területével. (9. ábra.)
 

9. ábra
 

Végül az MN... szabályos hatszöget vele egyenlő területű tizenkétszöggé kell átalakítanunk.
Emeljünk e végből az MN oldalra az O-ból merőlegeset, mely az MN-t P-ben és az MN... hatszög körül írt kört R-ben metszi. Az ONM háromszög ezáltal az OPM és OPN háromszögekre oszlik, melyek egymással egyenlők és melyekben az O-nál lévő szögek 30∘-nyiak. Az OR mint átmérő fölött alakított félkör az MP⊥OR egyenest oly T pontban metszi, hogy az OT küllővel az O pontból, mint középpontból leírt körbe rajzolt szabályos 12 szög egyenlő területű az MN... szabályos 12 szög egyenlő területű az MN... szabályos hatszöggel és így az ABC háromszöggel is.
 

9.a. ábra