Kezdőlap


Feladat:	49. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Sztrapkovits István
Füzet:	1894/május, 45 - 46. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú diofantikus egyenletek, Maradékos osztás, Legkisebb közös többszörös, Lineáris kongruencia-rendszerek, Szöveges feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1894/március: 49. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a lépcsők száma $x$ . Ez a következő alakokra hozható:

\begin{matrix} x = 2 x_{1} + 1 = 3 x_{2} + 2 = 4 x_{4} + 3 = 5 x_{4} + 4 = 6 x_{5} + 5 = 7 x_{6} \end{matrix}

Oldjuk meg az itt föllépő

6

határozatlan egyenlet közül a másodikat:

\begin{matrix} 2 x_{1} + 1 = 3 x_{2} + 2 \end{matrix}

\begin{matrix} 2 x_{1} = 3 x_{2} + 1 \end{matrix}

\begin{matrix} x_{1} = x_{2} + \frac{x_{2} + 1}{2}, \frac{x_{2} + 1}{2} = y, x_{2} = 2 y - 1 \end{matrix}

\begin{matrix} x_{1} = 2 y - 1 + y = 3 y - 1 \end{matrix}

\begin{matrix} x = 6 y - 2 + 1 = 6 y - 1 \end{matrix}

Ezután a következő határozatlan egyenlet megoldása keresendő

\begin{matrix} 6 y - 1 = 4 x_{3} + 3 \end{matrix}

\begin{matrix} 4 x_{3} = 6 y - 4 \end{matrix}

\begin{matrix} x_{3} = y - 1 + \frac{y}{2}, \frac{y}{2} = y', y = 2 y' \end{matrix}

\begin{matrix} x_{3} = 2 y' - 1 + y' = 3 y' - 1 \end{matrix}

\begin{matrix} x = 12 y' - 4 + 3 = 12 y' - 1 \end{matrix}

A következő megoldásra váró határozatlan egyenlet:

\begin{matrix} 12 y' - 1 + 3 = 5 x_{4} + 4 \end{matrix}

\begin{matrix} 5 x_{4} = 12 y' - 5 \end{matrix}

\begin{matrix} x_{4} = 2 y' - 1 + \frac{2 y'}{5}, \frac{2 y'}{5} = 2 y'', y' = 5 y'' \end{matrix}

\begin{matrix} x_{4} = 10 y'' - 1 + 2 y'' = 12 y'' - 1 \end{matrix}

\begin{matrix} x = 60 y'' - 5 + 4 = 60 y'' - 1 \end{matrix}

A negyedik határozatlan egyenlet a következő

\begin{matrix} 60 y'' - 1 = 6 x_{5} + 5 \end{matrix}

\begin{matrix} 6 x_{5} = 60 y'' - 6 \end{matrix}

Minthogy ezen egyenlet

6

-tal maradék nélkül osztható, ez

x

meghatározására nem vezet be új ismeretlent. Fölírhatjuk tehát az ötödik egyenletet

\begin{matrix} 7 x_{6} = 60 y'' - 1 \end{matrix}

\begin{matrix} x_{6} = 8 y'' + \frac{4 y'' - 1}{7}, \frac{4 y'' - 1}{7} = y''' \end{matrix}

\begin{matrix} 4 y'' = 7 y''' + 1, y'' = y''' + \frac{3 y''' + 1}{4} \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{3 y''' + 1}{4} = y^{I V}, y''' = \frac{4 y^{I V} - 1}{3} = y^{I V} + \frac{y^{I V} - 1}{3} \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{y^{I V} - 1}{3} = y^{V} . y^{I V} = 3 y^{V} + 1 \end{matrix}

\begin{matrix} y''' = 3 y^{V} + 1 + y^{V} = 4 y^{V} + 1 \end{matrix}

\begin{matrix} y'' = 4 y^{V} + 1 + 3 y^{V} + 1 = 7 y^{V} + 2 \end{matrix}

\begin{matrix} x_{6} = 56 y^{V} + 16 + 4 y^{V} + 1 = 60 y^{V} + 17 \end{matrix}

És így végre

\begin{matrix} x = 420 y^{V} + 119 \end{matrix}

A lépcsők száma lehet tehát:

119, 539, 959

és így tovább.
(Sztrapkovits István, főgymn. VIII. oszt. tanuló, S.-A.-Ujhely.)
A feladatot még megoldották: Seidner Mihály, Losoncz; Koncz K., Kisujszállás, Malesevits Miklós, főgymn. tanár, Zombor.