Kezdőlap


Feladat:	43. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Klug Lipót dr.
Füzet:	1894/november, 40 - 43. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb sokszögek hasonlósága, Körérintési szerkesztések, Diszkusszió, Háromszögek hasonlósága, Körülírt kör, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Trigonometriai azonosságok, Inverzió, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1894/március: 43. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Harmadik megoldás*)

Jelöljük az

A B C

háromszög

B C, C A, A B

oldalait

a, b, c

-vel az egymást kizárólag egy

E

pontban érintő és az

A C

egyenest az

A

pontban, a

B C

egyenest a

B

pontban érintő két körnek sugarát

r

, illetve

r_{1}

-gyel;

C E

egyenes második metszőpontját e körökkel

P, P_{1}

-gyel, végre

D E

vonaldarabot

e

-vel.
Ha a

P, P_{1}

pontok közül a

P

fekszik

C E

vonaldarabon akkor a

C

pont hatványa a két kört illetőleg

\begin{matrix} C E \cdot C P = C E \cdot (C E - P E) = C A^{2}, \end{matrix}

\begin{matrix} C E \cdot C P_{1} = C E \cdot (C E + E P_{1}) = C B^{2}, \end{matrix}

mely egyenletekből

\begin{matrix} P E = \frac{C E^{2} - C A^{2}}{C E} = \frac{e^{2} - b^{2}}{e}; E P_{1} = \frac{C B^{2} - C E^{2}}{C E} = \frac{a^{2} - e^{2}}{e} . \end{matrix}

Tekintve, hogy

E

a köröknek belső hasonlósági pontja, továbbá a körök sugarára vonatkozó feltételt:

\begin{matrix} P E : E P_{1} = r : r_{1} = m : n . \end{matrix}

Ha ebbe az arányba

P E, E P_{1}

-nek előbb talált értékeit helyettesítjük, és abból

e^{2}

értékét kiszámítjuk:

\begin{matrix} e^{2} = \frac{a^{2} m + b^{2} n}{m + n} = \frac{a^{2} + λ b^{2}}{1 + λ} \end{matrix}

hol

λ = n : m

.
Minthogy

e

-nek értéke csak az

a, b

és

λ

mennyiségektől függ, melyek állandóak, azért az egymást kizárólag érintő keresett körpárok érintőpontja egy körön fekszik, melynek középpontja

C

és sugara

e

.
Ha a szerkesztendő körpárok egymást bezárólag érintik egy

E'

pontban és

C E' = e'

, akkor hasonló úton mint előbb kiszámíthatjuk

e'

-nek értékét, mely

\begin{matrix} e'^{2} = \pm \frac{a^{2} m + b^{2} n}{m - n} = \pm \frac{a^{2} - λ b^{2}}{1 - λ} \end{matrix}

^{$^{*}$}
Szintén mondhatjuk, hogy a keresett és egymást bezárólag érintő körpárok érintő-pontja a

C

pontból leírható körön fekszik, melynek sugara

e'

.
A mi az

e

és

e'

sugarak szerkesztését illeti következőképp járhatunk el:
Az

A

és

D

^{$^{*}$} pontokon keresztül

C

szög felezőjével párhuzamosan menő egyeneseket metszéshez hozzuk

C B

-vel

G, H

pontokban;

G B

átmérő fölé írt körnek bármelyik metszőpontja

I,

G B

-re

H

-ban merőlegesen álló egyenessel, már

C

ponttól

e

távolságra van. Ha továbbá az

A

és

D^{*})

ponton keresztül

C

szög külszögének felezőjéval párhuzamosan menő egyenesek

C B

-t

G'

H'

pontokban metszik és

G B

átmérő fölé írt körhöz

H'

-ből vont érintő pontja

I'

, akkor

C H'

átfogó és

B I'

befogóból alkotott derékszögű háromszög másik befogója

e'

.
Ugyanis:

\begin{matrix} G H : H B = m : n, G H + H B = a + b \end{matrix}

\begin{matrix} G H = \frac{(a + b) m}{m + n}, H B = \frac{(a + b) n}{m + n}, C H = C B - H B = \frac{a m - b n}{m + n}, \end{matrix}

\begin{matrix} C I^{2} = C H^{2} + H I^{2} = C H^{2} + G H \cdot H B = \frac{a^{2} m + b^{2} n}{m + n} e^{2} . \end{matrix}

Továbbá:

\begin{matrix} G' H' : B H' = m : n, G' H' - B H' = a - b \end{matrix}

\begin{matrix} G' H' = \frac{(a - b) m}{m - n}, B H' = \frac{(a - b) n}{m - n}, C H' = C B + B H' = \frac{a m - b n}{m - n}, \end{matrix}

\begin{matrix} C H'^{2} - H' I'^{2} = C H'^{2} - G' H' \cdot B H' = \frac{a^{2} m - b^{2} n}{m - n} = e'^{2} . \end{matrix}

J e g y z e t. 1. A midőn

A, B, C

pontok egy egyenesben fekszenek,

A B

átmérő fölé kört írunk és ehhez

D'

-ből érintőt húzunk, vagy

D

pontban

A B

-re merőlegest emelünk; az érintő érintőpontja, vagy a merőleges metszőpontja a körrel, a körpárok érintőpontja. 2. A midőn

C

végtelen távol van tehát

C A ∥ C B

, a keresett körpárok érintőpontja

D

és

D'

. A feladatnak ebben az esetekben csak két megoldása van.
A feladat második megoldásánál (a 19. lapon) már ki lett mutatva, hogy ha a

D, D'

pontok az

A B

vonaldarabot akkép osztják, hogy

\begin{matrix} A D : D B = m : n; \end{matrix}

akkor a

D, D'

pontokon át az

A B C

háromszög

C

szögének és

C

külszögének felezőjével párhuzamosan menő egyenesek szintén átmennek a keresett körök érintőpontjain.
Ha tehát

C

-től

e

és

e'

sugárral köröket írunk le és az elsőt a

D

ponton átmenő, a másodikat a

D'

ponton átmenő és a

C

szög, valamint külszögének felezőivel párhuzamos egyenesekkel metsszük, akkor a négy első metszőpont az egymást kizárólag érintő körpároknak, az utóbbi négy metszőpont pedig az egymást bezárólag érintő körpároknak érintőpontja lesz.
Hasonlókép mint a feladat második megoldásánál, úgy itt is kimutatható, hogy a körök közül általában négy mindíg valós, még pedig mindíg az egymást kizáró csoporthoz tartozó négy kör.

D, D'

pontok közül ugyanis az egyik pl.

D

, melynél

λ

-t positivnek vesszük az

A B

vonaldarabon fekszik. Ennek távolsága

C

-től, mint az az

A C D, B C D

háromszögekből könnyen kiszámítható:

\begin{matrix} C D^{2} = \frac{a^{2} + λ b^{2}}{1 + λ} - \frac{c^{2} λ}{{(1 + λ)}^{2}}; \end{matrix}

mely kifejezés

e^{2}

-tel összehasonlítva igazolja, hogy a

D

pont az

e

sugarú körön belül fekszik és így a

D

ponton átmenő egyenes párok ama kört mindíg valós pontokban metszik.
Ha azonban nem ismernők a második megoldásban kimutatott ama tulajdonságot, hogy a körpárok érintőpontjai a

D, D'

ponton át

C

szög és külszögének felezőivel párhuzamosan menő egyenesen fekszenek, akkor azt következő úton is igazolhatjuk.
Nevezzük az

A C, B C

egyenesek az

A

illetve

B

pontban merőlegesen álló egyeneseket

A y

illetve

B z

-nek, ezek metszőpontját

F

-nek.
Rakjunk az

A

és

B

ponttól nézve

A y, B z

egyenesekre oly változó

A Y, B Z

vonaldarabokat, hogy

\begin{matrix} A Y : B Z = m : n \end{matrix}

és osszuk

Y Z

vonalat az

X

pontban akkép, hogy

\begin{matrix} Y X : X Z = m : n . \end{matrix}

Kérdés mi lesz az

X

pontok geometriai helye? - mert mint az

X

pontok szerkesztéséből látható, ezek között lesznek a kívánt körpárok érintőpontjai.
Az

Y Z

egyenesek tudvalevőleg egy parabolát burkolnak, melyeknek az

A y, B z

és

A B

egyenesek is érintői, mert a változó parabolaérintők két szilárd érintőtől aránylagos részeket metszenek le.
A változó

Y Z

egyeneseken fekvő

X

pontok, minthogy

Y Z

vonaldarabot

m : n

viszony szerint osztják szintén egy parabola érintőn, tehát egyenesen fekszenek. A változó

Y Z

parabola érintő egyik helyzetben

A B

, s e helyzethez tartozó

X

pont

D

pontba esik, mert

D

A B

vonaldarabot

m : n

viszony szerint osztja.
De ha a

D

ponton keresztül az

A y, B z

egyenesek hajlásszögeinek felezőivel párhuzamosokat húzunk, akkor ezek közül egyik az

A y, B z

-t oly

Y', Z'

pontokban metszi, hogy úgy az

A Y, A Y'

, mint

B Z, B Z'

, ugyanegy értelemben fekvő vonaldarabok. Tekintve, hogy

F Y' = F Z'

és

\begin{matrix} A Y' \cdot F Z' \cdot B D = A D \cdot F Y' \cdot B Z' \end{matrix}

(mert

D Y' Z'

egyenes az

A B F

háromszög átszelője), tehát

\begin{matrix} A Y' : B Z' = A D : B D = m : n . \end{matrix}

E szerint a

D Y' Z'

egyenes is egyik helyzete a változó

Y Z

egyeneseknek és a rajta fekvő

X

pontot

D

-vel összekötő egyenes

D Y' Z'

, a keresett

X

pontok geometriai helye.
Minthogy az

A Y, B Z

változó vonaldarabokat kétféleképp rakhatjuk az

A y, B z

egyenesekre és

Y Z

-t is kétféleképp oszthatjuk az adott viszony szerint, azért két parabolát és négy egyenest kapunk, mely utóbbiak, minthogy

A C ⊥ A y, B C ⊥ B z

-re, a

C

szög és külszögének felezőivel is párhuzamosak.

Klug Lipót,dr.

^{$^{*}$}*)Lásd a 19 oldalt.

^{$^{*}$}*)AD:DB=m:n és
AD':D'B=m:-n.