Kezdőlap


Feladat:	43. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1894/október, 19 - 22. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb sokszögek hasonlósága, Körérintési szerkesztések, Diszkusszió, Háromszögek hasonlósága, Körülírt kör, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Trigonometriai azonosságok, Inverzió, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1894/március: 43. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Második megoldás ^{$^{*}$}

A B C

háromszög

A

és

B

csúcsaiban az

A C

és

B C

oldalokat érintő körök középpontjai az

A y

és

B z

merőlegesekben vannak.
Legyenek az

O

és

O_{1}

középpontú körök a kívánt tulajdonságúak; tehát, hogy a

B,

ill.

A

pontokban a háromszög oldalait és

E

-ben egymást is érintik. Ekkor

\begin{matrix} O B : O_{1} A = r : r_{1} = m : n \end{matrix}

hol

m

és

n

két adott távolság mértékszámai. A figyelembe vett két körnél

O O_{1} = r + r_{1}

.
Húzzuk meg

A E

egyenest, mely az

O

középpontú kört

S

-ben metszi. Az

O S E

háromszög hasonló az

O_{1} A E

háromszöghöz, s így tehát

\begin{matrix} O S : O_{1} A = S E : A E = m : n \end{matrix}

c

oldalt

m : n

arány szerint osztjuk belül és kívül az osztó pontok

D

és

D'

, akkor feltétel szerint

\begin{matrix} D A : D B = E A : E S = n : m \end{matrix}

azaz

D E

egyenes párhuzamos

B S

-sel.
De

B S

parallel a

C

szöget felező átszelővel, mert

B O S = C

és

S B O = \frac{π}{2} - \frac{C}{2} = \frac{π}{2} - S B x,

tehát

S B x = \frac{C}{2} .

D

pontból a

C

szöget felező átszelővel párhuzamosan húzott egyenes e szerint átmegy a körök érintkezéspontján.
Az

E

pont meghatározására ez adatokhoz vegyük még figyelembe, hogy ez egyszersmind az

A E B

háromszög csúcsa, mely háromszögből ismeretes az alap és az

E

-nél levő szög, mely

π - \frac{C}{2}

; mert

\begin{matrix} S E B = \frac{1}{2} S O B = \frac{C}{2} \end{matrix}

Ámde ezáltal adva van az

A E B

háromszög köré írható kör sugara

r'' = c ∣ 2 sin \frac{C}{2}

, mely az

A B C

köré írt kör sugarával

(r_{0})

igen egyszerű összefüggésben van. Ugyanis:

\begin{matrix} r_{0} = \frac{c}{2 sin C} = \frac{c}{4 sin \frac{C}{2} cos \frac{C}{2}} \end{matrix}

és így

\begin{matrix} r' = 2 r_{9} cos \frac{C}{2} \end{matrix}

Ha tehát a körülírt kör középpontján

(G)

c

oldalra merőleges

C_{1} C_{2}

átmérőt rajzolunk és

C_{1}

pontot

A

vagy

B

-vel összekötjük

\begin{matrix} C_{1} B = C_{1} A = r' \end{matrix}

\begin{matrix} C_{2} C_{1} B = C_{2} C_{1} A = \frac{C}{2} \end{matrix}

lévén.
Az

r'

sugarú kör, melynek középpontja

C_{1}

C

szöget felező egyenessel

D

-ből párhuzamosan húzott egyenest

E

és

E_{3}

pontokban vágja, mint a kívánt tulajdonsággal bíró két-két kör érintéspontjaiban.
E két pár kör mindíg valós, mert

D

pont az

r'

sugarú kör területén belül van, s így minden rajta átmenő egyenes a kört két valós és pedig külön vált pontban metszi.
A

D

harmonikus párjából

D

-ből vont,

D E

-vel párhuzamos szelőnek az

r'

sugarú körel való metszései szintén két-két, a kívánt tulajdonságokkal bíró kört adnak általában, de az

E_{1}

és

E_{2}

metszéspontok egy kettős ponttá egyesülhetnek, vagy képzetesek is lehetnek,

D'

r'

sugarú kör kerületén kívül lévén, s így e körök két párja egy párrá, vagy mindkét pár lehetetlenné is válhatik.

II.

Legyen a szerkesztendő körökre az a feltétel, hogy:

\begin{matrix} r : r_{1} = m : n és r - r_{1} = O' O_{1}' \end{matrix}

S' O' E'_{1}

háromszög hasonló

A O'_{1} E'_{1}

háromszöghöz, hol

E'_{1}

az érintkezéspont és

S'

A E'_{1}

metszéspontja az

O'

középpontú körrel.

\begin{matrix} E'_{1} O' : E'_{1} O'_{1} = E'_{1} S' : E'_{1} A = r : r_{1} \end{matrix}

\begin{matrix} = m : n = D' B : D' A \end{matrix}

S B

húrt és

D' E'_{1}

szelőt húzván, ezek az elébbi aránylat szerint parellelák.
Ámde

S' B ⊥ B S

-re, tehát a

C

szöget felező irányra, mert

M B S'

szög

= \frac{π}{2}

(hol

M

O' S'

egyenes másik metszéspontja az

O'

középpontú körrel) mint félkörbe eső kerületi szög és így

D' E'_{1}

is merőleges

B S

-re.

E'_{1}

pont meghatározására vegyük figyelembe, hogy

E'_{1}

A E'_{1} A

háromszög csúcsa, mely háromszögnek

c

oldala és

E'_{1}

-nél lévő szöge ismeretes.
Ugyanis:

\begin{matrix} B E'_{1} S' = \frac{1}{2} S' O' B = \frac{π}{2} - \frac{C}{2} \end{matrix}

A E'_{1} B

háromszög köré írt kör sugara tehát

\begin{matrix} r'' = \frac{c}{2 cos \frac{C}{2}} \end{matrix}

és ha

\begin{matrix} r_{0} = \frac{c}{4 sin \frac{C}{2} cos \frac{C}{2}} \end{matrix}

A B C

háromszög köré írt kör sugara, akkor

\begin{matrix} r' = 2 r_{0} sin \frac{C}{2} \end{matrix}

Ha ezek szerint az

A B C

háromszög köré írt körnek

c

oldalra merőleges átmérőjét szerkesztjük

(C_{1} C_{2})

és

C_{2}

pontot

A

vgy

B

-vel összekötjük, úgy:

\begin{matrix} C_{2} A = C_{2} B = r'' \end{matrix}

r''

sugarú körnek

D' E'_{1}

-tel való metszéspontjai oly két-két kör érintkezés pontjai, melyek a kívánt tulajdonságokkal bírnak.

D'

pont kívül lévén a körön

E'_{1}

és

E'_{2}

pontok egy kettős ponttá egyesülhetnek, esetleg képzetesek lehetnek, azaz: az

E_{1}'

illetőleg

E_{2}'

pontban érintkező körök egy párrá egyesülhetnek, vagy lehetetlenekké válnak.

D'

harmonikus párjából

D

-ből vont,

D' E_{1}'

-tel parallel szelő az

r''

sugarú kört mindíg két valós és különvált pontban

(E'

és

E_{3}')

vágja s e pontok szintén két-két, a kívánt föltételeknek megfelelő kör érintkezéspontjai lesznek. Ez utóbbi körök mindíg valósak, mert

D

r''

sugarú körön belül van.
A feladatnak a kifejtettek szerint általában nyolcz megoldása van, melyek közül négy mindíg valós. E minden körülmények közt valós körök párjai kívülről érintkeznek.
A szerkesztés tehát oda reducálódik, meglévén határozva egy-egy pár kör érintkezés pontja, hogy oly köröket szerkesztünk, melyek adott ponton átmenvén, adott egyenest adott pontban érintenek. A középpontot egyszerűen találjuk

A y

, illetőleg

B z

egyenes és az illető segédkörnek azon átmérője metszésében, mely az

E k

meg az

a

, illetőleg

B

pontokat összekötő közös húrra merőlegesen áll.

Maksay Zsigmond, állami főreáliskolai tanár úrtól, Pécsett.²

^{$^{*}$}Lásd jelen folyóirat első évfolyamában az

54

. oldalt.

²Örömmel közöltük e második megoldást, mert míg egyrészt átlátszó és elegáns voltában az elsőt messze felülmúlja, másrészt első örvendetes példája azon tüneménynek, hogy a szaktanár urak oly feladatok megoldása által, melyek, mint az eredmény mutatja, a középiskolai tanulók átlagos képességéhez fűzhető igényeket túlhaladják, mintaszerű eljárásokat mutatnak be a tanuló ifjúságnak, melyekkel azt, vagy legalább annak jobbjait arra ösztönzik, hogy a nehezebb feladatoktól sem riadva vissza, dícséretes buzgóságot fejtsenek ki azok megoldására való törekvésben.

(Szerk.)