Kezdőlap


Feladat:	43. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Klug Lipót , Maksay Zsigmond
Füzet:	1894/június, 54. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb sokszögek hasonlósága, Körérintési szerkesztések, Diszkusszió, Háromszögek hasonlósága, Körülírt kör, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Trigonometriai azonosságok, Inverzió, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1894/március: 43. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A keresett körök középpontjai mindenesetre az $A D ⊥ A C$ és $B D ⊥ B C$ egyeneseken feküsznek és a feladat a következőre redukálódik: "Keressünk az $A D B$ háromszög $A D$ és $D B$ oldalain oly $M$ illetőleg $L$ pontot, hogy $A M : B L = m : n$ és $M L = A M + L B . "$
Az $A D$ egyenesre felvisszük az $A E = m$ és $B D$ egyenesre a $B F = n$ hosszúságokat tetszőleges egységekben. Azután az $E$ (vagy $F$ ) pontból az $m + n$ sugárral kört írunk le és az $F$ (vagy $E$ ) pontból az $A B$ -vel párhuzamosat húzunk, míg ez az $m + n$ sugarú kört a $G$ és $H$ pontokban metszi: Ez utóbbiakból a $B F$ (vagy $A E$ )-vel párhuzamos $G J$ és $H K$ egyeneseket húzzuk, hol $I$ és $K$ az $A B$ egyenesen feküsznek. (6. ábra).

6. ábra

Tegyük fel, hogy az

E

pontot választottuk az

m + n

sugarú kör középpontjául, akkor az

A E G J

és

A E H K

négyszögeket nyertük, melyekben

\begin{matrix} A E : J G = m : n \end{matrix}

és

\begin{matrix} A E + J G = E G \end{matrix}

továbbá

\begin{matrix} A E : K H = m : n \end{matrix}

és

\begin{matrix} A E + H K = E H \end{matrix}

Ha most az

A G

és

A H

egyeneseket meghosszabbítjuk, míg a

B D

-t az

L

és

L'

pontokban metszik (az ábrában csak az

L

pont van megrajzolva) továbbá ezen

L

pontból az

E G

-vel párhuzamosat húzunk, míg ez az

A D

-t az

M

pontban metszi, az

A M L B

négyszöget nyerjük, mely az

A E G J

-hez hasonló s melyre nézve tehát állanak a következő relácziók:

\begin{matrix} A M : B L = m : n \end{matrix}

és

\begin{matrix} A M + L B = M L . \end{matrix}

M

és

L

tehát a keresett körök középpontjai, melyek egymást az

M L

egyenes

N

pontjában érintik.
1. Jegyzet. Míg a most szerkesztett körök az

A B

egyenest oly pontokban metszik, melyek az

A

és

B

közé esnek, addig az

A E H K

négyszög sgítségével szerkeszthető

L'

és

M

középpontú körök az

A B

egyenest az

A v

és

B v

részben metszik, hol

v

A B

egyenesnek végtelenben fekvő pontját jelenti. Még két megoldást nyerünk, ha az

A E (A F)

hosszúságot úgy mint eddig, az

A F (A E)

hosszat azonban az előbbivel ellentett irányban visszük fel.
2. Jegyzet. Az eddigi

4

megoldásban a körök kívülről érintkeznek; ha az

m + n

(hol pl.

m > n)

helyett az

m - n

hosszat vezetjük be, új

4

megoldást nyerünk, melynél a körök belülről érintkeznek.