Kezdőlap


Feladat:	41. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Stark Zsigmond
Füzet:	1894/március, 27. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Mértani sorozat, Anyagok keverése és töltögetése, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1894/február: 41. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vizsgáljuk a feladatot előbb általánosságban; tartalmazzon a hordó $h$ liter bort és folyjon ki belőle bizonyos időközben $l$ liter.
Az első kifolyás után visszamarad $r_{1} = h - l$ liter bor. Ha a hiányt vízzel pótoljuk, az új folyadék minden literére $\frac{h - l}{h}$ liter bor esik és az újból kifolyó $l$ liter folyadékra $\frac{l (h - l)}{h}$ liter bor. E szerint a a visszamaradt tiszta bor

\begin{matrix} r_{2} = (h - l) - \frac{l}{h} (h - l) = (h - l) (l - \frac{l}{h}) = \frac{{(h - l)}^{2}}{h} \end{matrix}

A harmadízben kifolyó folyadékban a tiszta bor

\frac{l}{h^{2}} {(h - l)}^{2}

és a maradék tehát

\begin{matrix} r_{3} = \frac{{(h - l)}^{2}}{h} - \frac{l}{h} \frac{{(h - l)}^{2}}{h} = \frac{{(h - l)}^{2}}{h} (1 - \frac{l}{h}) = \frac{{(h - l)}^{3}}{h^{2}} \end{matrix}

n

-edik maradék tehát

\begin{matrix} r^{n} = \frac{{(h - l)}^{n}}{h^{n - l}} = h {(\frac{h - l}{h})}^{n} = h {(1 - \frac{l}{h})}^{n} \end{matrix}

és ennek kell

\frac{h}{2}

-vel egyenlőnek lennie.
E szerint az adott értékek behelyettesítése után

\begin{matrix} 0 \cdot 99^{n} = 0 \cdot 5 \end{matrix}

\begin{matrix} n log 0 \cdot 99 = log 0 \cdot 5 \end{matrix}

\begin{matrix} n = \frac{log 0 \cdot 5}{log 0 \cdot 99} = \frac{1 - 0 \cdot 69897}{1 - 0 \cdot 99564} \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{0 \cdot 30103}{0 \cdot 00436} = \frac{30100}{436} = 69 nap \end{matrix}

első megközelítésben.
(Stark Zsigmond, főreálisk. VIII. oszt. tanuló, Pécs.)
A feladatot még megoldották: Hónig Viktor kaposvári, Kugel Sándor és Seidner Mihály losonczi, Sztrapkovits István sátoraljaújhelyi főgymn. VIII. oszt. tanulók. Szabó Gusztáv, főreálisk. VI.oszt. tanuló, Győr.