Feladat: 39. matematika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1894/június, 53 - 54. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Térelemek és részeik, Szögfüggvények a térben, Térgeometriai bizonyítások, Háromszög alapú hasábok, Térfogat, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1894/február: 39. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az a és b egyenesek egymástóli távola AB. Tegyünk az a egyenesen keresztül a b-vel párhuzamos síkot és az A ponton keresztül a b-re merőleges síkot. A két sík metszésvonala jeleltessék MN-nel. (5. ábra.)

 

5. ábra
 

Válasszunk a a egyenesen tetszőleges P pontot és húzzuk belőle a b-re merőleges PQ=p-t. Húzzunk a Q-ból párhuzamosat a-val, s jeleljük döféspontját a b-re merőleges síkkal S-sel. Végre húzzuk az AR és PR egyeneseket, melyek mindketten az MN-re merőlegesek.
Ekkor a QASPRB ferdeháromoldalú hasábot nyerjük. Hogy ennek térfogatát meghatározhassuk, fektessünk a QA egyenesen keresztül a BS-re merőleges síkot, mely a hasábot QAH háromszögben metszi. A háromszög AQH szöge az (ap) sík és b egyenes hajlásszöge α. A hasáb térfogata
V=12AQ⋅AH⋅p
De
AH=AQtanα
s így
V=12AQ2⋅p⋅tanα1)
Húzzuk másrészt a Q és S pontokból az AB-vel párhuzamos QT és SU egyeneseket. Keletkezik az AQSBTU egyenes háromoldalú hasáb, melynek térfogata egyenlő az előbb leírt ferde hasáb térfogatával; vagyis
V=12AQ2⋅p⋅tanα=12AQ⋅AS⋅AB
De
AS=AQ⋅tgφ
hol a φ az a és b egyenesek által képezett szög és AB a két egyenes távola d.
Tehát
12AQ2⋅p⋅tanα=12AQ2⋅d⋅tanφ2)
vagyis
p⋅tanα=d⋅tanφ=állandó.

Ami bebizonyítandó volt.