Kezdőlap


Feladat:	37. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bergstein Ignácz
Füzet:	1894/március, 28. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Gúlák, Háromszög alapú hasábok, Térfogat, Csonkagúlák, Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1894/február: 37. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha a hasáb alapját $S$ -sel jelöljük, lesz térfogata

\begin{matrix} V = m S \end{matrix}

míg a gúla térfogata

\begin{matrix} V' = (m + x) \frac{S}{3} \end{matrix}

A gúlának a hasábbal közös része csonka gúla, melynek térfogata

\begin{matrix} V'' = (m + x) \frac{S}{3} - x \frac{S'}{3} \end{matrix}

hol

\begin{matrix} S' : S = x^{2} : {(m + x)}^{2} \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} S' = S \frac{x^{2}}{{(m + x)}^{2}} \end{matrix}

A gúlán kívül eső hasábrész térfogata végre

\begin{matrix} V''' = S m - (m + x) \frac{S}{3} + \frac{x^{3} S}{3 {(m + x)}^{2}} S \end{matrix}

A keresett

x

a következő egyeletből nyerhető

\begin{matrix} k = \frac{3 S {(m + x)}^{2} m - S {(m + x)}^{3} + S x^{3}}{3 S m {(m + x)}^{2}} \end{matrix}

\begin{matrix} 3 {(m + x)}^{2} m k = 3 m^{3} + 6 m^{2} x + 3 m x^{2} - m^{3} - 3 m^{2} x - 3 m x^{2} - x^{3} + x^{3} \end{matrix}

\begin{matrix} 2 m^{2} + 3 m x = 3 m^{2} k + 6 m k x + 3 k x^{2} \end{matrix}

\begin{matrix} 3 k x^{2} + (6 m k - 3 m) x + 3 m^{2} k - 2 m^{2} = 0 \end{matrix}

\begin{matrix} x = \frac{6 m k - 3 m \pm \sqrt[]{{(6 m k - 3 m)}^{2} - 12 k (3 m^{2} k - 2 m^{2})}}{6 k} \end{matrix}

\begin{matrix} x = \frac{6 m k - 3 m \pm \sqrt[]{D}}{6 k} \end{matrix}

hol

\begin{matrix} D = 36 k^{2} - 36 k + 9 - 36 k^{2} + 24 k \end{matrix}

\begin{matrix} D = - 12 k + 9 \end{matrix}

Hogy

x

valós legyen, szükséges tehát, miszerint

9 - 12 k \geq 0

vgyis, hogy

\begin{matrix} k \leq \frac{3}{4} \end{matrix}

(Bergstein Ignácz, főgymn. VIII. oszt. tanuló, Nyíregyháza).
A feladatot még megoldották: Hónig Viktor, főgymn. VIII. oszt. tanuló, Kaposvár; Seidner Mihály főgymn. VIII. oszt. tanuló, Losoncz; Stark Zsigmond főreálisk. VIII. oszt. tanuló, Pécs. Jorga Gergely, főreálisk. VIII. oszt. tanuló, Arad.