Kezdőlap


Feladat:	36. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Stark Zsigmond
Füzet:	1894/március, 27 - 28. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Terület, felszín, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Derékszögű háromszögek geometriája, Tengely körüli forgatás, Egyenes körhengerek, Paralelogrammák, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1894/február: 36. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az adott háromszög

A B C

, melyben a derékszög

C

pontnál van. Az átfogó kérdéses pontjából az

a

és

b

befogókra bocsátott merőlegesek hosszai legyenek

x

és

y

. Akkor a keletkezett parallellogramm területe

\begin{matrix} S = x y \end{matrix}

a : y = b : (b - x)

és ebből

\begin{matrix} y = \frac{a}{b} (b - x) \end{matrix}

\begin{matrix} S = \frac{a}{b} (b - x) x \end{matrix}

De ez a következő alakra hozható

\begin{matrix} S = - \frac{a}{b} x^{2} + a x \end{matrix}

\begin{matrix} S = \frac{- a^{2} x^{2} + a^{2} b x}{a b} \end{matrix}

\begin{matrix} S = \frac{- a^{2} x^{2} + a^{2} b x - \frac{a^{2} b^{2}}{4} + \frac{a^{2} b^{2}}{4}}{a b} \end{matrix}

\begin{matrix} S = \frac{- {(a x - \frac{a b}{2})}^{2}}{a b} + \frac{a b}{4} \end{matrix}

E kifejezésben a változó rész minden körülmény között negatív, tehát az állandó érétékét

x

minden értékénél kisebbíti. Csak ha

0

-val egyenlő, lesz a függvénynek,

S

-nek értéke legnagyobb

\begin{matrix} S_{m a x} = \frac{a b}{4} \end{matrix}

Ekkor azonban

\begin{matrix} x = \frac{b}{2} \end{matrix}

és

\begin{matrix} y = \frac{a}{2} \end{matrix}

A kérdéses pont tehát az

A B

átfogó felezési pontja.

II.

A henger felülete, ha a forgatás az

a

befogó körül történik

\begin{matrix} S = 2 x^{2} π + 2 π x y \end{matrix}

ha pedig a forgatás a

b

befogó körül történik

\begin{matrix} S' = 2 y^{2} π + 2 π y x \end{matrix}

De egyrészt

\begin{matrix} y = \frac{a}{b} (b - x) \end{matrix}

és így

\begin{matrix} S = 2 π x^{2} + \frac{2 a π}{b} (b - x) x \end{matrix}

\begin{matrix} másrészt x = \frac{b}{a} (a - y) és S' = 2 π y^{2} + \frac{2 b π}{a} (a - y) y . \end{matrix}

Ha a feladatot megoldottuk

S

-re, a megoldást

S'

-re az

x

és

y

a

ás

b

értékek felcserélése által nyerjük.

\begin{matrix} b S = 2 (b π - a π) x^{2} + 2 a b π x \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{b}{2 π} S = (b - a) x^{2} + a b x \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{b (a - b)}{2 π} S = - {(a - b)}^{2} + (a - b) a b x - \frac{a^{2} b^{2}}{4} + \frac{a^{2} b^{2}}{4} \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{b (a - b) S}{2 π} = - {(a - b) x - \frac{a b}{2}}^{2} + \frac{a^{2} b^{2}}{4} \end{matrix}

\begin{matrix} S = - \frac{2 π}{b (a - b)} {(a - b) x - \frac{a b}{2}}^{2} + \frac{π a^{2} b^{2}}{2 (a - b)} \end{matrix}

a > b

\begin{matrix} S_{m a x} = \frac{π a^{2} b}{2 (a - b)} \end{matrix}

midőn

\begin{matrix} x = \frac{a b}{2 (a - b)} \end{matrix}

a < b

\begin{matrix} S'_{m a x} = \frac{π a b^{2}}{2 (b - a)} \end{matrix}

midőn

\begin{matrix} y = \frac{a b}{2 (b - a)} \end{matrix}

(Stark Zsigmond, főreálisk, VIII. oszt. tanuló, Pécs.)
A feladatot még megoldották: Hónig Viktor, főgymn.VIII. oszt. tanuló, Kaposvár; Pollák Sándor, főgymn. VII. oszt. tanuló Győr.