Kezdőlap


Feladat:	34. matematika feladat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Szartórisz Kálmán
Füzet:	1894/március, 25 - 26. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számkörök, Permutációk, Projektív geometria, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1894/január: 34. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

\begin{matrix} Legyen (A B C D) = k_{1} akkor \end{matrix}

\begin{matrix} (A B C D) = \frac{A C}{B C} : \frac{A D}{B D} = k_{1} \end{matrix}

\begin{matrix} (A B D C) = \frac{A D}{B D} : \frac{A C}{B C} = \frac{1}{k_{1}} \end{matrix}

\begin{matrix} (A C B D) = \frac{A B}{C B} : \frac{A D}{C D} = k_{2} \end{matrix}

\begin{matrix} (A C D B) = \frac{A D}{C D} : \frac{A B}{C B} = \frac{1}{k_{2}} \end{matrix}

\begin{matrix} (A D B C) = \frac{A B}{D B} : \frac{A C}{D C} = k_{3} \end{matrix}

\begin{matrix} (A D C B) = \frac{A C}{D C} : \frac{A B}{D B} = \frac{1}{k_{3}} \end{matrix}

\begin{matrix} (B A C D) = \frac{B C}{A C} : \frac{B D}{A D} = \frac{1}{k_{1}} \end{matrix}

\begin{matrix} (B A D C) = \frac{B D}{A D} : \frac{B C}{A C} = k_{1} \end{matrix}

\begin{matrix} (B C A D) = \frac{B A}{C A} : \frac{B D}{C D} = k_{3} \end{matrix}

\begin{matrix} (B C D A) = \frac{B D}{C D} : \frac{B A}{C A} = \frac{1}{k_{3}} \end{matrix}

\begin{matrix} (B D A C) = \frac{B A}{D A} : \frac{B C}{D C} = k_{2} \end{matrix}

\begin{matrix} (B D C A) = \frac{B C}{D C} : \frac{B A}{D A} = \frac{1}{k_{2}} \end{matrix}

\begin{matrix} (C A B D) = \frac{C B}{A B} : \frac{C D}{A D} = \frac{1}{k_{2}} \end{matrix}

\begin{matrix} (C A D B) = \frac{C D}{A D} : \frac{C B}{A B} = k_{2} \end{matrix}

\begin{matrix} (C B A D) = \frac{C A}{B A} : \frac{C D}{B D} = \frac{1}{k_{3}} \end{matrix}

\begin{matrix} (C B D A) = \frac{C D}{B D} : \frac{C A}{B A} = k_{3} \end{matrix}

\begin{matrix} (C D A B) = \frac{C A}{D A} : \frac{C B}{D B} = k_{1} \end{matrix}

\begin{matrix} (C D B A) = \frac{C B}{D B} : \frac{C A}{D A} = \frac{1}{k_{1}} \end{matrix}

\begin{matrix} (D A B C) = \frac{D B}{A B} : \frac{D C}{A C} = \frac{1}{k_{3}} \end{matrix}

\begin{matrix} (D A C B) = \frac{D C}{A C} : \frac{D B}{A B} = k_{3} \end{matrix}

\begin{matrix} (D B A C) = \frac{D A}{B A} : \frac{D C}{B C} = \frac{1}{k_{2}} \end{matrix}

\begin{matrix} (D B C A) = \frac{D C}{B C} : \frac{D A}{B A} = k_{2} \end{matrix}

\begin{matrix} (D C A B) = \frac{D A}{C A} : \frac{D B}{C B} = \frac{1}{k_{1}} \end{matrix}

\begin{matrix} (D C B A) = \frac{D B}{C B} : \frac{D A}{C A} = k_{1} \end{matrix}

Látjuk, hogy a symbolum értékei négyenkint egyenlők egymással, s így a symbolumnak csak

6

egymástól különböző értéke van; t.i. :

k_{1}, k_{2}, k_{3}

és

\frac{1}{k_{1}}, \frac{1}{k_{2}}, \frac{1}{k_{3}} .

k_{2}

azaz

\begin{matrix} \frac{A B}{C B} : \frac{A D}{C D} = \frac{C B - C A}{C B} \cdot \frac{C A + A D}{A D} = \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{C B \cdot C A - C A^{2} + C B \cdot A D - C A \cdot A D}{C B \cdot A D} = \end{matrix}

\begin{matrix} = 1 - \frac{C A (C A - C B + A D)}{C B \cdot A D} = \end{matrix}

\begin{matrix} = 1 - \frac{C A (B A + A D)}{C B \cdot A D} = 1 - \frac{C A \cdot B D}{C B \cdot A D} \end{matrix}

\begin{matrix} = 1 - \frac{C A}{D A} : \frac{C B}{D B} = 1 - k_{1} . \end{matrix}

És

k_{3}

azaz

\begin{matrix} \frac{A B}{D B} : \frac{A C}{D C} = \frac{D B - D A}{D B} \cdot \frac{D A + A C}{A C} = \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{D B \cdot D A - D A^{2} + D B \cdot A C - D A \cdot A C}{D B \cdot A C} = \end{matrix}

\begin{matrix} = 1 - \frac{D A (D A - D B + A C)}{D B \cdot A C} = 1 - \frac{D A (B A + A C)}{D B \cdot A C} = \end{matrix}

\begin{matrix} 1 - \frac{D A \cdot B C}{D B \cdot A C} = 1 - \frac{A D}{A C} : \frac{B D}{B C} \end{matrix}

\begin{matrix} = 1 - \frac{1}{k_{1}} = \frac{k_{1} - 1}{k_{1}} . \end{matrix}

Tehát az

(A B C D)

symbolum, ha benne a betűket permutáljuk a következő

6

értéket veszi fel:

k_{1}, \frac{1}{k_{1}}, \frac{1}{1 - k_{1}}, \frac{k_{1} - 1}{k_{1}}

és

\frac{k_{1}}{k_{1} - 1} .

(Szartórisz Kálmán, főgymn. VIII. oszt. tanuló, Losoncz.) A feladatot még megoldotta: Hónig Viktor, főgymn. VIII. oszt. tan. Kaposvár.