Kezdőlap


Feladat:	33. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Heymann Tivadar
Füzet:	1894/február, 18 - 19. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Negyedfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenség-rendszerek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Negyed- és magasabb fokú függvények, Másodfokú függvények, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1894/január: 33. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vigyük át a $3$ -at a baloldalra ellenkező előjellel, ezáltal nem változik az egyenlőtlenség,

\begin{matrix} \frac{4 x^{4} - 20 x^{2} + 18}{x^{4} - 5 x^{2} + 4} - 3 < 0. \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{4 x^{4} - 20 x^{2} + 18 - 3 x^{4} + 15 x^{2} - 12}{x^{4} - 5 x^{2} + 4} < 0. \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{x^{4} - 5 x^{2} + 6}{x^{4} - 5 x^{2} + 4} < 0. \end{matrix}

A tört negatív, tehát kell, hogy vagy a számláló, vagy a nevező negatív legyen. Itt a nevező negatív. Legyen a számlálóban álló függvény jele

F (x^{2}) .

\begin{matrix} F (x^{2}) = x^{4} - 5 x^{2} + 6 \end{matrix}

\begin{matrix} = (x^{2} - x_{1}^{2}) (x^{2} - x_{2}^{2}) \end{matrix}

A függvény positív, tehát a szorzat mindkét tagja vagy

+

, vagy

-

előjelű.

\begin{matrix} x^{2} - x_{1}^{2} > 0 x^{2} - x_{1}^{2} < 0 \end{matrix}

\begin{matrix} \underset{̲}{x^{2} - x_{2}^{2} > 0} \underset{̲}{x^{2} - x_{2}^{2} < 0} \end{matrix}

\begin{matrix} x^{4} - 5 x^{2} + 6 = 0 \end{matrix}

\begin{matrix} x^{2} = \frac{5 \pm \sqrt[]{25 - 24}}{2}; x_{1}^{2} = 3, x_{2}^{2} = 2 \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} x^{2} - 3 > 0 x^{2} - 3 < 0 \end{matrix}

\begin{matrix} \underset{̲}{x^{2} - 2 > 0} \underset{̲}{x^{2} - 2 < 0} \end{matrix}

\begin{matrix} x^{2} > 3 x^{2} < 2 \end{matrix}

Legyen a nevezőben álló függvény jele

f (x^{2}) .

\begin{matrix} f (x^{2}) = x^{4} - 5 x^{2} + 4 \end{matrix}

\begin{matrix} = (x^{2} - x_{1}^{2}) (x^{2} - x_{2}^{2}) \end{matrix}

\begin{matrix} x^{2} - 5 x^{2} + 4 = 0 \end{matrix}

\begin{matrix} x^{2} = \frac{5 \pm \sqrt[]{25 - 16}}{2}; x_{1}^{2} = 4, x_{2}^{2} = 1 \end{matrix}

\begin{matrix} f (x^{2}) = (x^{2} - 4) (x^{2} - 1) \end{matrix}

A függvény negatív, tehát egyik tag negatív.

\begin{matrix} x^{2} < 4 \end{matrix}

\begin{matrix} x^{2} > 1 \end{matrix}

\begin{matrix} \bar{1 < x^{2} < 4} \end{matrix}

Kell, hogy az

x

mind a feltételeknek megfeleljen, tehát első esetben

\begin{matrix} 1 < x^{2} < 4 \end{matrix}

\begin{matrix} 3 < x^{2} \end{matrix}

\begin{matrix} \bar{1 < 3 < x^{2} < 4} \end{matrix}

\begin{matrix} 3 < x^{2} < 4 \end{matrix}

\begin{matrix} + \sqrt[]{3} < x < 2; - 2 < x < - \sqrt[]{3} \end{matrix}

második esetben

\begin{matrix} 1 < x^{2} < 4 \end{matrix}

\begin{matrix} x^{2} < 2 \end{matrix}

\begin{matrix} \bar{1 < x^{2} < 2 < 4} \end{matrix}

\begin{matrix} 1 < x^{2} < 2 \end{matrix}

\begin{matrix} 1 < x < \sqrt[]{2}; - \sqrt[]{2} < x < - 1 \end{matrix}

(Heymann Tivadar, főreálisk. VII. oszt. tanuló, Győr).