Kezdőlap


Feladat:	29. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Heymann Lajos , Kugel Sándor , Pollák Sándor , Schönner Odilo
Füzet:	1894/április, 41. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Fizikai jellegű feladatok, Pont, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Gömbhullám intenzitáscsökkenése, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1894/január: 29. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a két fényforrás egymástóli távolságát $a$ -val; világító erejök legyen $F_{1}$ és $F_{2}$ . A $P$ pont távolságát $A$ -tól nevezzük $x$ -nek, akkor $B$ -től természetesen (a-x)-nek.

\begin{matrix} F_{1} : F_{2} = m : n \end{matrix}

1).

P

pont megvilágítottsága

A

fényforrás részéről.

\begin{matrix} J_{1} = \frac{F_{1}}{x^{2}} \end{matrix}

B

részéről

J_{2} = \frac{F_{2}}{{(a - x)}^{2}}

és e kettőnek feltétel szerint egymással egyenlőnek kell lenni, vagyis

\begin{matrix} J_{1} = J_{2} \end{matrix}

\begin{matrix} F_{1} : x^{2} = F_{2} : {(a - x)}^{2} \end{matrix}

\begin{matrix} F_{1} : F_{2} = x^{2} : {(a - x)}^{2} \end{matrix}

2).

1)

-et a

2)

-vel egybevetve, lesz:

\begin{matrix} x^{2} : {(a - x)}^{2} = m : n \end{matrix}

és ebből

\begin{matrix} m {(a - x)}^{2} = n x^{2} \end{matrix}

kiszorozva

\begin{matrix} a^{2} m - 2 a m x + m x^{2} = n x^{2} \end{matrix}

rendezve

\begin{matrix} (m - n) x^{2} - 2 a m x + a^{2} m = 0 \end{matrix}

\begin{matrix} x = \frac{2 a m \pm \sqrt[]{4 a^{2} m^{2} - 4 (m - n) a^{2} m}}{2 (m - n)} \end{matrix}

\begin{matrix} x = a \frac{m \pm \sqrt[]{m n}}{2 (m - n)} \end{matrix}

A feladat második részében legyen a

P'

pont távolsága az

A

fényforrástól

y

, a

B

-től

z

. Feltéve ismét, hogy

J, = J_{2},

lesz,

\begin{matrix} F, : F_{2} = y^{2} : z^{2} = m : n \end{matrix}

1).

Nevezzük az

y

hossznak a két fényforrás összekötő egyenesére való vetületét

x

-nek, a

z

vetületét akkor

(a - x)

-nek, melyeket úgy nyerünk, ha a

P'

pontból

b

merőlegest

a

-ra meghúzzuk.
Ekkor pedig

\begin{matrix} y^{2} = b^{2} + x^{2} \end{matrix}

\begin{matrix} z^{2} = b^{2} + {(a - x)}^{2} \end{matrix}

mely értékeket az

1)

-be helyettesítve, lesz

\begin{matrix} (b^{2} + x^{2}) : (b^{2} + a^{2} - 2 a x + x^{2}) = m : n \end{matrix}

\begin{matrix} m (b^{2} + a^{2} - 2 a x + x^{2}) = n (b^{2} + x^{2}) \end{matrix}

\begin{matrix} x^{2} (m - n) - 2 a m x + m (a^{2} + b^{2}) - n b^{2} = 0 \end{matrix}

\begin{matrix} x = \frac{2 a m \pm \sqrt[]{4 a^{2} m^{2} - 4 (m - n) (m a^{2} + m b^{2} - n b^{2})}}{2 (m - n)} \end{matrix}

\begin{matrix} x = \frac{a m \pm \sqrt[]{a^{2} m n - b^{2} {(m - n)}^{2}}}{(m - n)} \end{matrix}

(Heymann Lajos, főreálisk.VIII. oszt. tanuló, Győr.)
A feladatot még megoldották: Schönner Odilo, Losoncz; Pollák Sándor, Győr; Kugel Sándor, Losoncz.