Feladat:	28. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Lauber Dezső ,  Visnya Aladár
Füzet:	1894/február, 21 - 22. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Párhuzamos szelők tétele, Síkgeometriai szerkesztések, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1894/január: 28. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Első megoldás A szerkesztés alapja az, hogy ha két párhuzamos egyenest $2$ sugárral átmetszünk, akkor a sugarak találkozáspontján átmenő bármely egyenes a párhuzamosoknak a sugarak által kimetszett részét egyenlő arányban osztja. A két adott egyenest párhuzamos helyzetbe hozzuk; még pedig $A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$ vonalat $A\text{'}$ pontja körül forgatjuk. $B\text{'}$ jut $B\text{'}\text{'}$-be, $C\text{'}$ a $C\text{'}\text{'}$-be s. i. t. Most összekötjük $A$ pontot $A\text{'}$-vel, $B$-t $B\text{'}\text{'}$-vel, $C$-t $C\text{'}\text{'}$-vel, $D$-t $D\text{'}\text{'}$-vel. Az $\overline{AA}\text{'}\text{'}$ és $\overline{BB}\text{'}\text{'}$ egyenesek metszéspontját a $\overline{CC}\text{'}\text{'}$ és $\overline{DD}\text{'}\text{'}$ egyenesek metszéspontjával összekötő egyenes oly pontokat ($X$ és $X\text{'}\text{'}$) metsz ki a két párhuzamosból, melyek a következő aránylatokat elégítik ki: $\begin{array}{c}{\displaystyle XA:XB=X\text{'}\text{'}A\text{'}\text{'}:X\text{'}\text{'}B\text{'}\text{'}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle XC:XD=X\text{'}\text{'}C\text{'}\text{'}:X\text{'}\text{'}D\text{'}\text{'}}\end{array}$ Most az $X\text{'}\text{'}$ pontot $A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$ vonalba forgatjuk, hol $X\text{'}$ pontot nyerjük. De $\begin{array}{c}{\displaystyle X\text{'}\text{'}A\text{'}\text{'}=X\text{'}A\text{'}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle X\text{'}\text{'}B\text{'}\text{'}=X\text{'}B\text{'}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle X\text{'}\text{'}C\text{'}\text{'}=X\text{'}C\text{'}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle X\text{'}\text{'}D\text{'}\text{'}=X\text{'}D\text{'}}\end{array}$ s így $\begin{array}{c}{\displaystyle XA:XB=X\text{'}A\text{'}:X\text{'}B\text{'}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle XC:XD=X\text{'}C\text{'}:X\text{'}D\text{'}}\end{array}$ A feladat feltételeinek tehát megfelelnek a most nyert $X$ és $X\text{'}$ pontok. (Visnya Aladár és Lauber Dezső, főreálisk. VI. oszt. tanulók, Pécs). Második megoldás Jeleljük az $AB\text{...}$ egyenest $e$-vel, az $A\text{'}B\text{'}\text{...}$ egyenest $f$-fel. Metszéspontjuk legyen $S$. Az $A\mathrm{,}B\mathrm{,}\text{...}$ pontok távola az $S$-től legyen $a\mathrm{,}b\mathrm{,}\text{...}$; az $A\text{'}\mathrm{,}B\text{'}\mathrm{,}\text{...}$ pontok távola $a\text{'}\mathrm{,}b\text{'}\mathrm{,}\text{...}$ Ekkor az adott aránylatok a következő alakban írhatók. $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{x-a}{x-b}=\frac{x\text{'}-a\text{'}}{x\text{'}-b\text{'}}\text{...}\text{...}\text{...}1.)}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{x-c}{x-d}=\frac{x\text{'}-c\text{'}}{x\text{'}-d\text{'}}\text{...}\text{...}\text{...}2.)}\end{array}$ Tekintsük az $e$ és $f$ egyeneseket ferdeszögű sík koordináta tengely-rendszernek az $a\mathrm{,}a\text{'}\text{...}$ értékrendszereket egy-egy $A\text{'}\text{'}\text{...}$, pont koordinátáinak. Az $1.)$ egyenlet ekkor az $A\text{'}\text{'}$ és $B\text{'}\text{'}$ pontokat összekötő, a $2.)$ egyenlet a $C\text{'}\text{'}$ és $D\text{'}\text{'}$ pontokat összekötő egyenesnek egyenletei és $x$ és $x\text{'}$ a két egyenes metszéspontjának $X\text{'}\text{'}$-nek koordinátái. Az $S$ ponttól számított $x$ és $x\text{'}$ hosszúságok végpontjai a keresett $X$ és $X\text{'}$ pontok. ${}^{*}$ A kívánt szerkesztés tehát a következő: Húzunk az $A$-ból párhuzamost $f$-fel és az $A\text{'}$-ből párhuzamost $e$-vel. Metszéspontjukat nevezzük $A\text{'}\text{'}$-nek. Hasonlóképpen szerkesztjük $B\text{'}\text{'}$-et, $C\text{'}\text{'}$-et és $D\text{'}\text{'}$-et a $B\mathrm{,}B\text{'}$ és $C\mathrm{,}C\text{'}$ és $D\mathrm{,}D\text{'}$ pontpárokból. Összekötjük továbbá az $A\text{'}\text{'}$-et $B\text{'}\text{'}$-tel és a $C\text{'}\text{'}$-et $D\text{'}\text{'}$-tel. E két egyenes metszéspontját $X\text{'}\text{'}$-tel jelöljük. Az $X\text{'}\text{'}$-ből húzok párhuzamosokat az $e$-vel és $f$-fel. A pontok melyekben ezek $f$-et és $e$-t metszik, a keresett $X\text{'}$ és $X$ pontok. ${}^{*}$Jegyzet. Jeleljük az $AA\text{'}\mathrm{,}BB\text{'}\mathrm{,}CC\text{'}$ és $DD\text{'}$ egyeneseket rendre $a\mathrm{,}b\mathrm{,}c$ és $d$-vel, az $XX\text{'}$ egyenest pedig $x$-szel. Az $e\mathrm{,}f\mathrm{,}c$ és $b$, továbbá az $e\mathrm{,}f\mathrm{,}c$ és $d$ egyenesek mint érintők egy-egy parabolát határoznak meg, melyeknek $e$ és $f$ közös érintői. E két parabolának további közös érintője az $XX\text{'}=x$ egyenes.