Kezdőlap


Feladat:	25. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Eckstein Mór
Füzet:	1894/február, 21. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Térfogat, Szöveges feladatok, Gömb és részei, Egyenes körhengerek, Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1894/január: 25. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Nevezzük a gömb küllőjét $R$ -nek a kimetszett körökét $r$ -nek. Akkor

\begin{matrix} r^{2} = \frac{2}{3} R \cdot \frac{3}{4} R = \frac{8}{9} R^{2}, \end{matrix}

\begin{matrix} r = \frac{2}{3} R \sqrt[]{2} . \end{matrix}

A keletkezett gömbszelet térfogata

\begin{matrix} V = \frac{1}{3} π \frac{4}{9} R^{2} (3 R - \frac{2}{3} R) \end{matrix}

\begin{matrix} V = \frac{4}{27} π R^{2} \frac{7 R}{3} = \frac{28}{81} π R^{3} \end{matrix}

\begin{matrix} V = \frac{28}{81} π \cdot 12^{3} d m^{3} = \frac{28.64}{3} π d m^{3} . \end{matrix}

A gömb sugarát

ζ

-t a következő egyenletből nyerjük:

\begin{matrix} \frac{4}{3} ζ^{3} π = \frac{28.64}{3} π d m^{3} . \end{matrix}

\begin{matrix} ζ^{3} = 28.16 d m^{3} . \end{matrix}

\begin{matrix} ζ = \sqrt[3]{448} d m = 7.6 d m . \end{matrix}

A párhuzamos síkokkal kimetszett gömbszelet térfogata

\begin{matrix} V' = \frac{4}{3} R^{3} π - \frac{56}{81} R^{3} π . \end{matrix}

\begin{matrix} V' = (\frac{108}{81} - \frac{56}{81}) R^{3} π . \end{matrix}

\begin{matrix} V' = \frac{56}{81} R^{3} π . \end{matrix}

A hengeralakú cső térfogata, ha ismeretlen hosszát

h

-val jelöljük:

\begin{matrix} V' = h {{(ζ + 0.2)}^{2} - ζ^{2}} π . \end{matrix}

\begin{matrix} V' = h {(0.4 ζ + 0.04)} π . \end{matrix}

Ebből

\begin{matrix} h = \frac{V'}{(0.4 ζ + 0.04) π} . \end{matrix}

\begin{matrix} h = \frac{\frac{52}{81} R^{3} π}{(0.4 ζ + 0.04) π} . \end{matrix}

\begin{matrix} h = \frac{52 R^{3}}{81 (0.4 ζ + 0.04)} . \end{matrix}

\begin{matrix} h = \frac{52. 12^{3}}{81 (0.4 ζ + 0.04)}, \end{matrix}

\begin{matrix} h = \frac{52.64}{0.12 + 1.2 ζ} . \end{matrix}

\begin{matrix} h = \frac{52.16}{0.03 + 0.3 ζ}, \end{matrix}

\begin{matrix} h = 360.2 dm . \end{matrix}

(Eckstein Mór, főgymn. VIII. oszt. tanuló, Nyitra).