Feladat:	22. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Pollák Sándor
Füzet:	1894/április, 35 - 36. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül körökben, Terület, felszín, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Algebrai átalakítások, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1893/december: 22. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. A keresett $x$ és $y$ távolságok mérőszámai között az $\begin{array}{c}{\displaystyle x^2+y^2=d^2}\end{array}$ (1) összefüggés áll fönn, hol $d=PO$-val, a $P$ pontnak a kör középpontjától való távolságával. Továbbá $\begin{array}{c}{\displaystyle x^2=R^2-\frac{A{C}^2}{4}\mathrm{,}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle y^2=R^2-\frac{B{D}^2}{4}\mathrm{.}}\end{array}$ Ezen egyenletekből $\begin{array}{c}{\displaystyle {\overline{AC}}^2=4\left(R^2-x^2\right)\mathrm{,}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle {\overline{BD}}^2=4\left(R^2-y^2\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Másrészt $\begin{array}{c}{\displaystyle a^2=AC\cdot BD\mathrm{,}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle a^4=A{C}^2\cdot B{D}^2\mathrm{,}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle a^4=16\left(R^2-x^2\right)\left(R^2-y^2\right)}\end{array}$ (2) Ez utóbbi egyenlet rendezve $x^2$ és $y^2$ szerint a következő lesz: $\begin{array}{c}{\displaystyle 16x^2{y}^2-16R^2\left(x^2+y^2\right)+16R^4-a^4=0}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle 16x^2{y}^2=a^4-16R^4+16R^4+16R^2{d}^2}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle x^2{y}^2=\frac{a^4}{16}-R^2\left(R^2-d^2\right)}\end{array}$ (3) Az $\left(1\right)$ és $\left(3\right)$ alatti egyenletekből következik, hogy $x^2$ és $y^2$ a következő másodfokú egyenletnek gyökei: $\begin{array}{c}{\displaystyle z^2-d^{2}z+\frac{a^4}{16}-R^2\left(R^2-d^2\right)=0}\end{array}$ (4) Ebből $\begin{array}{c}{\displaystyle z=\frac{d^2}{2}\pm \sqrt[]{\frac{d^4}{4}-\frac{a^4}{16}+R^2\left(R^2-d^2\right)}\mathrm{,}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle z=\frac{d^2}{2}\pm \frac{1}{2}\sqrt[]{d^4+4R^4-4R^2{d}^2-\frac{a^4}{4}}\mathrm{,}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle z=\frac{d^2}{2}\pm \frac{1}{2}\sqrt[]{{\left(2R^2-d^2\right)}^2-\frac{a^4}{4}}\mathrm{.}}\end{array}$ Vagyis $\begin{array}{c}{\displaystyle x^2=\frac{d^2}{2}+\frac{1}{2}\sqrt[]{{\left(2R^2-d^2\right)}^2-\frac{a^4}{4}}\mathrm{,}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle y^2=\frac{d^2}{2}-\frac{1}{2}\sqrt[]{{\left(2R^2-d^2\right)}^2-\frac{a^4}{4}}\mathrm{.}}\end{array}$   II. Az $ABCD$ négyszög oldalai rendre a következők: $\begin{array}{c}{\displaystyle A{B}^2=A{P}^2+B{P}^2\mathrm{,}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle B{C}^2=B{P}^2+C{P}^2\mathrm{,}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle C{D}^2=C{P}^2+D{P}^2\mathrm{,}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle D{A}^2=D{P}^2+A{P}^2\mathrm{.}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle AP=AH-PH\mathrm{,}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle AP=\sqrt[]{R^2-x^2}-y;}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle BP=BK-PK\mathrm{,}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle BP=\sqrt[]{R^2-y^2}-x;}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle CP=CH+HP\mathrm{,}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle CP=\sqrt[]{R^2-x^2}+y;}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle DP=DK+KP\mathrm{,}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle DP=\sqrt[]{R^2-y^2}+x\mathrm{.}}\end{array}$ Tehát $\begin{array}{c}{\displaystyle A{B}^2=2R^2-2y\sqrt[]{R^2-x^2}-2x\sqrt[]{R^2-y^2}\mathrm{,}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle B{C}^2=2R^2+2y\sqrt[]{R^2-x^2}-2x\sqrt[]{R^2-y^2}\mathrm{,}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle C{D}^2=2R^2+2y\sqrt[]{R^2-x^2}+2x\sqrt[]{R^2-y^2}\mathrm{,}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle D{A}^2=2R^2-2y\sqrt[]{R^2-x^2}+2x\sqrt[]{R^2-y^2}\mathrm{.}}\end{array}$ Hogy a föntebbi kifejezésekből az $x$-et és $y$-t kiküszöbölhessük jeleljük rendre: $\begin{array}{c}{\displaystyle U_1=x\sqrt[]{R^2-y^2}+y\sqrt[]{R^2-x^2}\mathrm{,}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle U_2=-x\sqrt[]{R^2-y^2}-y\sqrt[]{R^2-x^2}\mathrm{,}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle U_3=x\sqrt[]{R^2-y^2}-y\sqrt[]{R^2-x^2}\mathrm{,}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle U_4=-x\sqrt[]{R^2-y^2}+y\sqrt[]{R^2-x^2}\mathrm{.}}\end{array}$ Az $U_1$ és $U_2$ továbbá az $U_3$ és $U_4$ a következő két másodfokú egyenlet gyökeinek tekinthetők. $\begin{array}{c}{\displaystyle U^2={\left(x\sqrt[]{R^2-y^2}\pm y\sqrt[]{R^2-x^2}\right)}^2\mathrm{,}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle U^2=x^2\left(R^2-y^2\right)+y^2\left(R^2-x^2\right)\pm 2xy\sqrt[]{R^2-y^2}\sqrt[]{R^2-x^2}\mathrm{.}}\end{array}$ Vagy az $\left(1\right)$ és $\left(2\right)$ alatti egyenletek figyelembevételével $\begin{array}{c}{\displaystyle U^2=R^2{d}^2-2x^2{y}^2\pm \frac{a^2}{2}xy;}\end{array}$ $xy$-t a $\left(3\right)$ alatti egyenletből helyettesítve $\begin{array}{c}{\displaystyle U^2=R^2{d}^2-2\left[\frac{a^4}{16}-R^2\left(R^2-d^2\right)\right]\pm \frac{a^2}{2}\sqrt[]{\frac{a^4}{16}{R}^2\left(R^2-d^2\right)}\mathrm{,}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle U^2=R^2{d}^2-\frac{a^4}{16}+R^4-R^2{d}^2-\left[\frac{a^4}{16}-R^2\left(R^2-d^2\right)\right]\pm }\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle \pm 2\frac{a^2}{4}\sqrt[]{\frac{a^4}{16}-R^2\left(R^2-d^2\right)}\mathrm{,}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle U^2=R^4-{\left[\frac{a^2}{4}\pm \sqrt[]{\frac{a^4}{16}-R^2\left(R^2-d^2\right)}\right]}^2}\end{array}$ (5) Ebből $\begin{array}{c}{\displaystyle U=\pm \sqrt[]{R^4-{\left[\frac{a^2}{4}\pm \sqrt[]{\frac{a^4}{16}-R^2\left(R^2-d^2\right)}\right]}^2}\mathrm{,}}\end{array}$ és a keresett oldalak négyzetei; $\begin{array}{c}{\displaystyle A{B}^2=2B^2-2\sqrt[]{R^4-{\left(\frac{a^2}{4}+D\right)}^2}\mathrm{,}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle D{C}^2=2R^2-2\sqrt[]{R^4-{\left(\frac{a^2}{4}-D\right)}^2}\mathrm{,}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle C{D}^2=2R^2+2\sqrt[]{R^4-{\left(\frac{a^2}{4}+D\right)}^2}\mathrm{,}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle D{A}^2=2R^2-2\sqrt[]{R^4-{\left(\frac{a^2}{4}+D\right)}^2}\mathrm{,}}\end{array}$ Hol  $\begin{array}{c}{\displaystyle D=\sqrt[]{\frac{a^4}{16}-R^2\left(R^2-d^2\right)}}\end{array}$   III. Ha   $\begin{array}{c}{\displaystyle d^2=\frac{R^2}{4}\left(4-\sqrt[]{5}\right)}\end{array}$ azaz   $\begin{array}{c}{\displaystyle R^2-d^2=\frac{R^2}{4}\sqrt[]{5}}\end{array}$ ha továbbá $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{a^4}{16}=\frac{R^4\left(5+2\sqrt[]{5}\right)}{16}}\end{array}$ tehát $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{a^4}{16}-R^2\left(R^2-d^2\right)=\frac{R^4\left(5+2\sqrt[]{5}\right)}{16}-\frac{R^4}{4}\sqrt[]{5}=\frac{R^4}{16}\left(5-2\sqrt[]{5}\right)}\end{array}$ és $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[]{\frac{a^4}{16}-R^2\left(R^2-d^2\right)}=\frac{R^2}{4}\sqrt[]{5-2\sqrt[]{5}}}\end{array}$ akkor $\begin{array}{c}{\displaystyle U^2=R^4-{\left[\frac{R^2}{4}\sqrt[]{5+2\sqrt[]{5}}\pm \frac{R^2}{4}\sqrt[]{5-2\sqrt[]{5}}\right]}^2\mathrm{,}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle U^2=R^4-\frac{R^4}{16}\left[10\pm 2\sqrt[]{5}\right]\mathrm{.}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle U^2=\frac{R^4}{16}\left[6\mp 2\sqrt[]{5}\right]\mathrm{,}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle U^2=\frac{R^4}{16}{\left[\sqrt[]{5}\mp 1\right]}^2\mathrm{,}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle U=\pm \frac{R^2}{4}\left(\sqrt[]{5}\mp 1\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Tehát $\begin{array}{c}{\displaystyle A{B}^2=2R^2-\frac{R^2}{2}\left(\sqrt[]{5}+1\right)=\frac{R^2}{4}\left(6-2\sqrt[]{5}\right)\mathrm{,}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle B{C}^2=2R^2-\frac{R^2}{2}\left(\sqrt[]{5}-1\right)=\frac{R^2}{4}\left(10-2\sqrt[]{5}\right)\mathrm{,}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle C{D}^2=2R^2+\frac{R^2}{2}\left(\sqrt[]{5}+1\right)=\frac{R^2}{4}\left(10+2\sqrt[]{5}\right)\mathrm{,}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle D{A}^2=2R^2+\frac{R^2}{2}\left(\sqrt[]{5}-1\right)=\frac{R^2}{4}\left(6+2\sqrt[]{5}\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Végre $\begin{array}{c}{\displaystyle AB=\frac{R}{2}\sqrt[]{6-2\sqrt[]{5}}=\frac{R}{2}\left(\sqrt[]{5}-1\right)\mathrm{,}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle BC=\frac{R}{2}\sqrt[]{10-2\sqrt[]{5}}\mathrm{,}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle CD=\frac{R}{2}\sqrt[]{10+2\sqrt[]{5}}\mathrm{,}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle DA=\frac{R}{2}\sqrt[]{6+2\sqrt[]{5}}=\frac{R}{2}\left(\sqrt[]{5}+1\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Szerk. Pollák Sándor, főgymn. VII. oszt. tanuló, Győr.