Kezdőlap


Feladat:	21. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bozóky Endre
Füzet:	1894/január, 12 - 14. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül körökben, Körérintési szerkesztések, Síkgeometriai szerkesztések, Kör geometriája, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1893/december: 21. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tegyük fel, hogy

\begin{matrix} 0 < a < 2 R . \end{matrix}

Feladatunk értelmében a

C D = A D - A C = l .

Még egy összefüggést nyerünk

A D

és

A C

között, ha az

A D F

és

A F C

hasonló háromszögekből aránylatokat írunk fel.
Minthogy ugyanis az

\begin{matrix} F C A ∢ = A F D ∢ \end{matrix}

és

\begin{matrix} A F C ∢ = F D A ∢, \end{matrix}

\begin{matrix} A F : A D = A C : A F \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} A D \cdot A C = A F^{2} = 2 R a . \end{matrix}

Emeljünk

A F

egyenesre az

F

pontban merőlegest s erre vigyük rá az

F J = \frac{l}{2}

távolságot, továbbá az

J

-ből mint középpontból

\frac{l}{2}

sugárral rajzoljunk kört, mely az

A J

egyenest messe a

G

és

H

pontokban.
Ekkor

\begin{matrix} A F^{2} = A H \cdot A G \end{matrix}

és

\begin{matrix} A H - A G = l . \end{matrix}

Vagyis

\begin{matrix} A H = A D \end{matrix}

és

\begin{matrix} A G = A C . \end{matrix}

Ha tehát az

A

pontból mint középpontból köröket írunk le, ezek az adott kört és egyenest a keresett

C

és

D'

, az egyenest

C'

és

D

pontokban metszik.
Ha

\begin{matrix} l < 2 R - a \end{matrix}

A G

sugarú kör az adott kört

C

és

C_{1}

, az

P D

egyenest

D'

és

D'_{1}

pontokban metszi.
Az

A H

sugarú kör pedig az adott kört

C'

és

C'_{1}

, az

A C

egyenest pedig

D

és

D_{1}

pontokban metszi.

C

és

D

C'

és

D'

C_{1}

és

D_{1}

C_{1}'

és

D_{1}'

összetartozó pontpárok.

\begin{matrix} 1 > 2 R - a \end{matrix}

A G

sugarú kör csak az adott kört és az

A H

sugarú kör csak a

P D

egyenest metszi át.

II.

Tegyük fel másrészt, hogy

\begin{matrix} a > 2 R > 0 \end{matrix}

Rajzoljuk meg a kört, melynek középpontja a

B P

egyenes tartomány felező pontja s mely a

B

és

P

pontokon keresztül megy s húzzunk ehhez az

A

pontból érintőt

A F

-et.
Ekkor

\begin{matrix} A F^{2} = A B \cdot A P = 2 R (a - 2 R) \end{matrix}

Másrészt az

A B C

és

A P D

háromszögek hasonlóságából következik, hogy

\begin{matrix} A B : A C = A D : A P \end{matrix}

\begin{matrix} A C \cdot A D = A B \cdot A P = \bar{A F}^{2} = 2 R (a - 2 R) . \end{matrix}

Ha tehát az

A F

egyenesre az

F

pontban merőlegest emelünk, s erre az

A J = \frac{l}{2}

hosszúságot felvisszük és az

J

-ből mint középpontból

\frac{l}{2}

sugárral kört írunk le, ez az

A J

egyenest

G

és

H

pontokban metszi, melyekre nézve a következő egyenletek állanak fenn:

\begin{matrix} A H - A G = l \end{matrix}

és

\begin{matrix} A H \cdot A G = {A F}^{2} = 2 R (a - 2 R) . \end{matrix}

Vagyis ismét

\begin{matrix} A H = A D \end{matrix}

és

\begin{matrix} A G = A C . \end{matrix}

A G

sugarú kör az adott kört és az

A H

sugarú kör az

A P

egyenest csak akkor metszi át valós pontokban, ha

l > (a - 2 R)

III.

Legyen

\begin{matrix} 0 > a > - 2 R \end{matrix}

Rajzoljuk meg a kört a

B

és

P

pontokon keresztül,melynek középpontja a

B P

egyenes tartomány felező pontja s húzzuk meg ebben az

A F ⊥ B P

húrt.

\begin{matrix} A F^{2} = A B \cdot P A = - 2 R a . \end{matrix}

Ha az

F

ponton keresztül kört rajzolunk, melynek sugara

\frac{l}{2}

s középpontja

J

B P

egyenesen fekszik, ez a

B P

egyenest

G

és

H

pontokban metszi, melyekre nézve a következő egyenletek állanak fenn:

\begin{matrix} A H + G A = A H - A G = l \end{matrix}

\begin{matrix} G A \cdot A H = {\bar{A F}}^{2} = - 2 R a \end{matrix}

Minthogy itt

\begin{matrix} A D - A C = l \end{matrix}

\begin{matrix} A D \cdot C A = A H \cdot G A = A F^{2} = - 2 R a . \end{matrix}

A G

és

A H

nem egyebek a keresett

A C

és

A E

egyeneseknél.
Látjuk, hogy itt

\begin{matrix} l \geq 2 A F, \end{matrix}

\begin{matrix} l^{2} \geq 4 A F^{2}, \end{matrix}

\begin{matrix} l^{2} \geq - 8 R a ., \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{l}{2} < \frac{2 R - a}{2} \end{matrix}

\begin{matrix} l < 2 R - a \end{matrix}

A G

és

A H

sugarakkal leírt körök az adott kört valamint a

P D

egyenest átmetszik. Ha

\begin{matrix} l > 2 R - a \end{matrix}

A G

sugarú kör csak az adott kört és az

A H

sugarú kör csak a

P D

egyenest metszi.

IV.

Legyen végre

\begin{matrix} a < - 2 R < 0 \end{matrix}

akkor a szerkesztés azonos marad ugyan a III. részben leírttal, de csak akkor kapunk valós

C

és

D

metszéspontokat, ha

\begin{matrix} l > 2 R - a \end{matrix}